📐 Dörtgenler: Temel Bilgiler
Dörtgen, dört kenarı ve dört açısı olan bir çokgendir. İç açılarının toplamı her zaman 360°'dir. KPSS'de en çok karşılaşılan dörtgen türleri kare, dikdörtgen ve paralelkenardır.
🔷 Kare
Dört kenarı da birbirine eşit ve tüm iç açıları 90° olan dörtgendir.
- ✅ Kenar Özelliği: Tüm kenarlar eşittir. |AB| = |BC| = |CD| = |DA|
- ✅ Açı Özelliği: Tüm iç açılar 90°'dir.
- ✅ Köşegen Özellikleri:
- Köşegenler birbirine eşittir. |AC| = |BD|
- Köşegenler birbirini ortalar.
- Köşegenler birbirini 90°'de keser (dik kesişir).
- Köşegen uzunluğu: \( a\sqrt{2} \) (a: kenar uzunluğu)
- ✅ Alan Formülü: \( A = a^2 \) veya \( A = \frac{d^2}{2} \) (d: köşegen uzunluğu)
- ✅ Çevre Formülü: \( Ç = 4a \)
📏 Dikdörtgen
Karşılıklı kenarları birbirine eşit ve tüm iç açıları 90° olan dörtgendir.
- ✅ Kenar Özelliği: Karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir. |AB| = |CD| ve |BC| = |DA|
- ✅ Açı Özelliği: Tüm iç açılar 90°'dir.
- ✅ Köşegen Özellikleri:
- Köşegenler birbirine eşittir. |AC| = |BD|
- Köşegenler birbirini ortalar.
- Köşegen uzunluğu: \( \sqrt{a^2 + b^2} \) (a ve b: kenar uzunlukları)
- ✅ Alan Formülü: \( A = a \cdot b \)
- ✅ Çevre Formülü: \( Ç = 2(a + b) \)
🔶 Paralelkenar
Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgendir.
- ✅ Kenar Özelliği: Karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir.
- ✅ Açı Özelliği: Karşılıklı açılar eşittir. Ardışık açıların toplamı 180°'dir (\( \angle A + \angle B = 180° \)).
- ✅ Köşegen Özellikleri:
- Köşegenler birbirini ortalar.
- Köşegen uzunlukları genellikle eşit değildir.
- ✅ Alan Formülü:
- \( A = a \cdot h_a \) (Bir kenar ve o kenara ait yükseklik)
- \( A = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \) (İki kenar ve arasındaki açı)
- \( A = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin(\theta) \) (Köşegenler ve arasındaki açı)
- ✅ Çevre Formülü: \( Ç = 2(a + b) \)
🎯 KPSS'de Çıkabilecek Önemli İlişkiler
- 💡 Hem kare hem de dikdörtgen aynı zamanda birer paralelkenardır ve paralelkenarın tüm özelliklerini taşır.
- 💡 Kare, aynı zamanda bir dikdörtgendir (tüm açıları 90° olduğu için).
- 💡 Bir dörtgenin köşegenleri birbirini ortalıyorsa, bu bir paralelkenardır.
- 💡 Köşegenlerin birbirine eşit olduğu paralelkenar, bir dikdörtgendir.
- 💡 Köşegenlerin hem eşit hem dik olduğu paralelkenar, bir karedir.
🧠 Çözümlü Örnek Fikirleri
Örnek 1: Bir kenarı 10 cm olan karenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm: \( d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) cm
Örnek 2: Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm: \( d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) cm
Örnek 3: Taban uzunluğu 12 cm ve bu tabana ait yüksekliği 5 cm olan paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?
Çözüm: \( A = a \cdot h_a = 12 \cdot 5 = 60 \) cm²
