Maksimum yükseklik (hmax) formülü

Question

Bu formülü genellikle düşey atış sorularında kullanıyorum ama tam olarak nasıl elde edildiğini anlamakta zorlanıyorum. Zamansız formülde V₀ ve g'nin yerlerini karıştırıyorum, formülün neden V₀²/2g olduğunu kafamda tam olarak canlandıramıyorum.

Answer 1

📈 Maksimum Yükseklik (h_max) Formülü

Bir cismin yerden belli bir açıyla ve ilk hızla fırlatıldığında ulaşabileceği en yüksek noktaya maksimum yükseklik denir ve genellikle h_max ile gösterilir. Bu kavram, eğik atış hareketinin dikey bileşenini inceler.

🎯 Formülün Türetilmesi

Bir cisim, yer seviyesinden \( v_0 \) ilk hızıyla ve \( \theta \) açısıyla fırlatılsın. Bu hareketi analiz ederken hızı yatay ve dikey bileşenlere ayırırız:

• 📏 Dikey İlk Hız Bileşeni: \( v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) \)

Cisim yükselirken yer çekimi ivmesi (\( g \)) nedeniyle yavaşlar. Maksimum yüksekliğe ulaştığı anda dikey hız bileşeni sıfır olur (\( v_y = 0 \)).

Sabit ivmeli hareket denklemlerinden, dikey eksendeki hız-zaman formülünü kullanabiliriz:

\( v_y = v_{0y} - g \cdot t \)

Maksimum yükseklikte \( v_y = 0 \) olduğu için:

\( 0 = v_0 \cdot \sin(\theta) - g \cdot t_{çıkış} \)

Buradan, cismin tepe noktasına ulaşma süresi (çıkış süresi) bulunur:

\( t_{çıkış} = \frac{v_0 \cdot \sin(\theta)}{g} \)

Şimdi, bu süreyi konum-zaman formülünde yerine koyarak maksimum yüksekliği bulalım:

\( h_{max} = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)

\( h_{max} = (v_0 \sin\theta) \cdot \left( \frac{v_0 \sin\theta}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{v_0 \sin\theta}{g} \right)^2 \)

Bu ifade sadeleştirildiğinde, maksimum yükseklik formülüne ulaşırız:

🧮 Maksimum Yükseklik Formülü

\( \boxed{h_{max} = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g}} \)

💡 Önemli Noktalar

• ✅ Formülde \( v_0 \), cismin ilk hızının büyüklüğüdür.
• ✅ \( \theta \), yerle yaptığı açıdır.
• ✅ \( g \), yer çekimi ivmesidir (yaklaşık 9.8 m/s²).
• ✅ Maksimum yüksekliğe çıkış süresi ile iniş süresi birbirine eşittir.
• ✅ Açı 90° olduğunda (\( \sin(90°) = 1 \)) cisim dikey olarak yukarı atılmış olur ve maksimum yüksekliğe ulaşır.

📝 Örnek Problem

Problem: Bir top, 20 m/s'lik bir hızla ve yerle 30°'lik bir açı yapacak şekilde fırlatılıyor. Topun ulaşacağı maksimum yüksekliği bulunuz. (\( g = 10 \ m/s^2 \) alınız.)

Çözüm:

• ➡️ Verilenler: \( v_0 = 20 \ m/s \), \( \theta = 30° \), \( g = 10 \ m/s^2 \)
• ➡️ \( \sin(30°) = 0.5 \)
• ➡️ Formül: \( h_{max} = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g} \)
• ➡️ Hesaplama: \( h_{max} = \frac{(20 \cdot 0.5)^2}{2 \cdot 10} = \frac{(10)^2}{20} = \frac{100}{20} = 5 \ m \)

Cevap: Top 5 metre maksimum yüksekliğe ulaşır.