# Merkezi (a,b) ve Yarıçapı r Olan Çember Denklemi
📐 Çemberin Temel Özellikleri
Bir çember, düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir. Bu sabit noktaya merkez, merkez ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa ise yarıçap denir.
🧮 Çember Denkleminin Türetilmesi
Analitik düzlemde merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember düşünelim. Bu çember üzerindeki herhangi bir P(x,y) noktası için:
- 📍 |MP| = r (çember tanımı gereği)
- 📏 İki nokta arasındaki uzaklık formülü: |MP| = \( \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} \)
- ➡️ Bu iki ifadeyi eşitlersek: \( \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r \)
- 🧩 Her iki tarafın karesini alırsak: \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
📝 Çember Denkleminin Standart Formu
Merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çemberin standart denklemi:
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
🔍 Önemli Özel Durumlar
- 🎯 Merkez Orijinde (0,0): \( x^2 + y^2 = r^2 \)
- 📊 Merkez Eksenler Üzerinde: Örneğin merkez (a,0) ise \( (x-a)^2 + y^2 = r^2 \)
💡 Örnek Çözümler
Örnek 1:
Merkezi (2,3) ve yarıçapı 5 birim olan çemberin denklemini yazalım:
- a = 2, b = 3, r = 5
- Denklem: \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \)
Örnek 2:
Denklemi \( (x+1)^2 + (y-4)^2 = 16 \) olan çemberin merkezini ve yarıçapını bulalım:
- Denklemi standart forma getirelim: \( (x-(-1))^2 + (y-4)^2 = 4^2 \)
- Merkez: (-1,4)
- Yarıçap: 4 birim
📈 Çember Denkleminin Genel Formu
Standart formu açarak genel formu elde edebiliriz:
- \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
- \( x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2 \)
- \( x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0 \)
Bu genel formda D = -2a, E = -2b, F = \( a^2 + b^2 - r^2 \) katsayıları kullanılır.
✅ Özet
- 🎯 Çember, düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir
- 📐 Merkezi (a,b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi: \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
- 🔍 Denklemdeki a,b ve r değerleri çemberin konumunu ve boyutunu belirler
- 📚 Bu denklem analitik geometride çemberle ilgili problemleri çözmek için temel oluşturur
