Merkezil çember denklemi (x² + y² = r²)

Question

Bu denklemi anlamakta zorlanıyorum. x ve y'nin karelerinin toplamının neden her zaman sabit bir sayıya (r²) eşit olduğunu tam olarak kavrayamadım. Bu formülü grafik üzerinde nasıl göstereceğim konusunda da kafam karışık.

Answer 1

📐 Merkezil Çember Denklemi

Merkezil çember, merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında (0,0) olan çemberlere verilen isimdir. Bu çemberin denklemi, tüm noktaların koordinatlarının bu özel konumunu ifade eder.

🧮 Denklemin Anlamı

Bir çember, sabit bir noktadan (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir. Merkezil çemberde bu sabit nokta O(0,0)'dır. Çember üzerindeki herhangi bir P(x, y) noktasının merkeze olan uzaklığı daima sabittir ve bu uzaklığa yarıçap (r) denir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bu ilişkiyi yazabiliriz:

\( \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = r \)

İfadeyi sadeleştirirsek, merkezil çemberin standart denklemini elde ederiz:

\( x^2 + y^2 = r^2 \)

🔍 Denklemi Anlamak

• 🎯 x ve y: Çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır.
• 🎯 r: Çemberin yarıçapıdır (daima pozitif bir sayıdır, r > 0).
• 🎯 Denklem bize şunu söyler: "Bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığının karesi, yarıçapın karesine eşitse, o nokta çemberin üzerindedir."

📝 Örnekler

Örnek 1: Yarıçapı 5 birim olan bir merkezil çemberin denklemini yazalım.

\( r = 5 \) olduğundan, denklem \( x^2 + y^2 = 5^2 \) olur, yani:

\( x^2 + y^2 = 25 \)

Örnek 2: A(3, 4) noktası, \( x^2 + y^2 = 25 \) çemberinin üzerinde midir?

Noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyalım:

\( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)

Sonuç 25'e eşit olduğu için evet, A noktası bu çemberin üzerindedir. ✅

Örnek 3: Denklemi \( x^2 + y^2 = 16 \) olan çemberin yarıçapı kaçtır?

\( r^2 = 16 \) olduğundan, \( r = \sqrt{16} = 4 \) birimdir.

💡 Önemli Noktalar

• 📌 Merkez (0,0) noktasından geçen doğrular, bu çemberi iki noktada keser.
• 📌 Eksenlere teğet olan merkezil çemberler için yarıçap, merkezin eksenlere olan uzaklığına eşittir.
• 📌 Denklemde \( x^2 \) ve \( y^2 \) terimlerinin katsayıları daima 1'dir.