# 📐 Noktanın Analitiği: İki Nokta Arası Uzaklık
📌 Konu: Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Analitik geometrinin temel konularından biri olan iki nokta arası uzaklık formülü, koordinat düzleminde noktalar arası mesafeyi hesaplamamızı sağlar. Bu formül, Pisagor teoreminden türetilmiş olup geometri ve cebirin kesişim noktasıdır.
🎯 Temel Kavramlar
Analitik düzlemde her nokta bir (x, y) sıralı ikilisi ile ifade edilir. İki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğudur.
📏 İki Nokta Arası Uzaklık Formülü
Koordinat düzleminde A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları verilsin. Bu iki nokta arasındaki uzaklık:
|AB| = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
🔍 Formülün Mantığı ve İspatı
Formül, Pisagor teoremine dayanır:
- 📊 İki noktanın x koordinatları farkı: yatay kenar uzunluğu → \(|x_2 - x_1|\)
- 📈 İki noktanın y koordinatları farkı: dikey kenar uzunluğu → \(|y_2 - y_1|\)
- 🔺 Bu iki uzunluk, dik kenarları oluşturur
- 📐 Hipotenüs (iki nokta arası uzaklık): \(\sqrt{(yatay)^2 + (dikey)^2}\)
💡 Örnek Çözümler
Örnek 1: Temel Uygulama
A(3, 4) ve B(7, 1) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım:
- \(x_2 - x_1 = 7 - 3 = 4\)
- \(y_2 - y_1 = 1 - 4 = -3\)
- \(|AB| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) birim
Örnek 2: Eksenler Üzerindeki Noktalar
C(-2, 0) ve D(5, 0) noktaları arasındaki uzaklık:
- 👀 y koordinatları eşit (her ikisi de 0) → noktalar x ekseni üzerinde
- \(|CD| = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{7^2 + 0} = 7\) birim
- ✅ Kısa yol: Eksen üzerindeki noktalar için sadece farklı olan koordinatların farkını al → \(|5 - (-2)| = 7\)
⭐ Özel Durumlar ve Pratik Bilgiler
1. Bir Noktanın Orijine Uzaklığı
P(a, b) noktasının orijine (0, 0) uzaklığı:
\(|OP| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
2. Eksenlere Paralel Doğrular
- 📏 x eksenine paralel doğru üzerindeki noktalar → y koordinatları eşit
- 📐 y eksenine paralel doğru üzerindeki noktalar → x koordinatları eşit
- ⚡ Uzaklık hesaplaması basitleşir (sadece farklı olan koordinatın farkı)
3. Simetrik Noktalar
A(x₁, y₁) noktasının;
- x eksenine göre simetriği: (x₁, -y₁)
- y eksenine göre simetriği: (-x₁, y₁)
- orijine göre simetriği: (-x₁, -y₁)
🎓 Alıştırma Soruları
- A(2, 5) ve B(-1, 1) noktaları arası uzaklık kaç birimdir?
- x ekseni üzerinde olan ve A(3, 4) noktasına 5 birim uzaklıkta olan noktaların koordinatlarını bulunuz.
- Köşeleri A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2) olan üçgenin çevresini hesaplayınız.
📚 Formülün Uygulama Alanları
- 🔷 Üçgen, dörtgen gibi geometrik şekillerin kenar uzunlukları
- 📏 Çevre ve alan hesaplamaları
- 🎯 Noktaların bir çember üzerinde olup olmadığının kontrolü
- 📈 Doğru parçalarının orta noktası ve bölme formüllerinin temeli
Önemli Hatırlatma: İki nokta arası uzaklık formülü, analitik geometrinin yapı taşıdır. Bu formülü iyi öğrenmek, ileride göreceğiniz doğru denklemleri, çember analitiği ve konik kesitler konularında size büyük kolaylık sağlayacaktır. 🚀
