Noktanın bir noktaya göre simetriği

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. İki nokta verildiğinde, birinin diğerine göre simetriğini nasıl bulacağımı tam olarak kavrayamadım. Koordinat düzleminde hangi işlemleri yapmam gerekiyor?

Answer 1

📌 Noktanın Bir Noktaya Göre Simetriği Nedir?

Bir noktanın başka bir noktaya göre simetriği, simetri merkezi olarak adlandırılan bir noktaya göre yansımasıdır. Bu işlem sonucunda, orijinal nokta ile simetriği, simetri merkezine eşit uzaklıkta ve aynı doğru üzerinde bulunurlar.

🎯 Temel Prensip

Bir A(x₁, y₁) noktasının, M(a, b) noktasına göre simetriği olan A'(x₂, y₂) noktasını bulmak için, M noktasının A ve A' noktalarının orta noktası olduğu gerçeğini kullanırız.

Orta nokta formülü şöyledir:

M(a, b) = \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)

🧮 Formülün Türetilmesi

Yukarıdaki orta nokta formülünü, bilinmeyen A'(x₂, y₂) noktasını bulacak şekilde düzenleyebiliriz:

• ➡️ x₂ = 2a - x₁
• ➡️ y₂ = 2b - y₁

Yani, A(x₁, y₁) noktasının M(a, b) noktasına göre simetriği olan A' noktasının koordinatları:

A'(2a - x₁, 2b - y₁)

📝 Örnek Soru ve Çözüm

Soru: A(3, 5) noktasının, M(1, -2) noktasına göre simetriği olan A' noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

• 📍 Formülümüz: A'(2a - x₁, 2b - y₁)
• 📍 Verilen değerler: x₁ = 3, y₁ = 5, a = 1, b = -2
• 📍 Hesaplama:
  • x' = 2*1 - 3 = 2 - 3 = -1
  • y' = 2*(-2) - 5 = -4 - 5 = -9
• ✅ Cevap: A'(-1, -9)

💡 Özel Durum: Orijine Göre Simetri

Eğer simetri merkezi orijin, yani M(0, 0) noktası ise, formül çok daha basitleşir:

A(x, y) noktasının orijine göre simetriği A'(-x, -y) noktasıdır.

Örnek: B(4, -7) noktasının orijine göre simetriği B'(-4, 7) noktasıdır.

🔍 Görselleştirme ve Anlamı

Bu dönüşümü hayal etmenin en iyi yolu, A noktasından M noktasına bir doğru çizmek ve bu doğruyu M noktasından aynı miktarda uzatarak A' noktasına ulaşmaktır. M noktası, A ve A' arasındaki yolun tam ortasındadır.

📌 Özet

• 📍 Simetri merkezi M(a, b) noktasıdır.
• 📍 A(x₁, y₁) noktasının M'ye göre simetriği A'(2a - x₁, 2b - y₁)'dir.
• 📍 Bu kural, koordinat sistemindeki herhangi bir nokta için geçerlidir.