Öklid Teoremi, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalar ile olan ilişkisini açıklayan bir geometri teoremidir. Bu teorem, dik üçgenlerdeki kenar bağıntılarını anlamak için temel bir araçtır.
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \) olsun. [BC] hipotenüs üzerindeki A köşesinden indirilen yüksekliğin ayağı H noktasıdır. Bu durumda:
Matematiksel olarak ifade edersek:
\( |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \)
Ayrıca, bu teoremin bir uzantısı olarak aşağıdaki bağıntılar da geçerlidir:
Öklid Teoremi, benzer üçgenler kullanılarak kolayca ispatlanabilir.
Verilenler: ABC dik üçgen, \( m(\widehat{A}) = 90^\circ \), [AH] ⊥ [BC]
İspat:
1. ABC üçgeni ile ABH üçgenini düşünelim:
Bu durumda, AAA Benzerlik Kuralı'na göre \( \triangle ABC \sim \triangle ABH \) olur.
2. ABC üçgeni ile ACH üçgenini düşünelim:
Bu durumda, AAA Benzerlik Kuralı'na göre \( \triangle ABC \sim \triangle ACH \) olur.
3. Eğer \( \triangle ABC \sim \triangle ABH \) ve \( \triangle ABC \sim \triangle ACH \) ise, geçişlilik özelliği ile \( \triangle ABH \sim \triangle ACH \) olur.
4. \( \triangle ABH \sim \triangle ACH \) benzerliğinden kenar oranlarını yazabiliriz:
\( \dfrac{|AH|}{|HC|} = \dfrac{|BH|}{|AH|} \)
5. İçler-dışlar çarpımı yaparsak:
\( |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \)
İspat tamamlanmıştır.
Soru 1: A açısının dik olduğu bir ABC üçgeninde, [AH] yüksekliği çizilmiştir. |BH| = 4 cm ve |HC| = 9 cm ise, |AH| uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Öklid Teoremi'ne göre:
\( |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \)
\( |AH|^2 = 4 \cdot 9 \)
\( |AH|^2 = 36 \)
\( |AH| = 6 \) cm
Soru 2: Yukarıdaki üçgende |AB| = 6 cm ve |BH| = 3 cm ise, |BC| hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Öklid Teoremi'nin uzantısını kullanacağız:
\( |AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \)
\( 6^2 = 3 \cdot |BC|
Soru 1: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsü 4 cm ve 9 cm uzunluğundaki iki parçaya ayırıyor. Buna göre bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13
Cevap: A
Çözüm: Öklid Teoremi'ne göre \( h^2 = p \cdot k \) formülü uygulanır. \( h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \) ve \( h = 6 \) cm bulunur.
Soru 2: Bir dik üçgende dik kenarlardan birinin hipotenüs üzerinde ayırdığı parça 3 cm ve hipotenüsün tamamı 12 cm'dir. Bu dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 5 b) 6 c) \( 3\sqrt{3} \) d) \( 2\sqrt{6} \) e) \( 6\sqrt{2} \)
Cevap: B
Çözüm: Öklid Teoremi'ne göre \( b^2 = p \cdot c \) formülü kullanılır. \( b^2 = 3 \cdot 12 = 36 \) ve \( b = 6 \) cm bulunur.
Soru 3: Bir ABC dik üçgeninde A açısı 90°'dir. [AH] yüksekliği çizildiğinde |BH| = 2 cm ve |HC| = 8 cm ölçülüyor. Buna göre |AB|/|AC| oranı kaçtır?
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6
Cevap: A
Çözüm: Öklid Teoremi'ne göre \( |AB|^2 = |BH| \cdot |BC| = 2 \cdot 10 = 20 \) ve \( |AC|^2 = |CH| \cdot |BC| = 8 \cdot 10 = 80 \). Oran: \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{80}} = \frac{1}{2} \)
Soru 4: Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik 6 cm ve bu yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçalardan biri diğerinin 4 katıdır. Buna göre hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 25
Cevap: B
Çözüm: Parçalardan biri x, diğeri 4x olsun. \( 6^2 = x \cdot 4x \) → \( 36 = 4x^2 \) → \( x^2 = 9 \) → \( x = 3 \). Hipotenüs = x + 4x = 5x = 15 cm
