🎨 Parçalı Fonksiyon Nedir?
Parçalı fonksiyonlar, tanım aralığının farklı kısımlarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlardır. Yani, bir $x$ değeri için hangi kuralın geçerli olacağını belirleyen bir koşul vardır.
- 🍎 Tanım: Bir parçalı fonksiyon genellikle şu şekilde gösterilir:
$$f(x) = \begin{cases}
f_1(x), & x < a \\
f_2(x), & a \le x < b \\
f_3(x), & x \ge b
\end{cases}$$
- 🍎 Anlamı: Burada $f_1(x)$, $f_2(x)$ ve $f_3(x)$ farklı fonksiyonlardır ve $a$ ile $b$ kritik noktalardır. Hangi $x$ değeri için hangi fonksiyonu kullanacağımızı bu kritik noktalar belirler.
- 🍎 Örnek:
$$f(x) = \begin{cases}
x + 1, & x < 0 \\
x^2, & 0 \le x \le 2 \\
4, & x > 2
\end{cases}$$
Bu fonksiyonda, eğer $x$ sıfırdan küçükse $x + 1$’i kullanırız, $x$ sıfır ile iki arasındaysa $x^2$’yi kullanırız ve $x$ ikiden büyükse 4’ü kullanırız.
🎨 Mutlak Değer Fonksiyonu Nedir?
Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının sıfıra olan uzaklığını verir. Yani, bir sayının pozitif veya negatif olmasına bakılmaksızın, her zaman pozitif bir değer döndürür.
- 🍎 Tanım: Mutlak değer fonksiyonu genellikle $|x|$ şeklinde gösterilir ve şu şekilde tanımlanır:
$$|x| = \begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}$$
- 🍎 Anlamı: Eğer $x$ pozitif veya sıfırsa, mutlak değeri kendisidir. Eğer $x$ negatifse, mutlak değeri $-x$’tir (yani, işaret değiştirilmiş halidir).
- 🍎 Örnek: $|3| = 3$ ve $|-5| = 5$
🎨 Parçalı Fonksiyon ve Mutlak Değer İlişkisi
Mutlak değer fonksiyonu aslında bir parçalı fonksiyondur! Yukarıdaki tanıma dikkat ederseniz, mutlak değer fonksiyonunu iki farklı parçayla tanımladık: $x \ge 0$ için $x$ ve $x < 0$ için $-x$.
- 🍎 Mutlak Değerin Parçalı Fonksiyon Olarak Yazılması: Mutlak değerli ifadeler içeren fonksiyonları çözerken, mutlak değeri parçalı fonksiyon şeklinde yazmak işimizi kolaylaştırır.
- 🍎 Örnek: $f(x) = |x - 2|$ fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonu parçalı olarak şu şekilde yazabiliriz:
$$f(x) = \begin{cases}
x - 2, & x \ge 2 \\
-(x - 2), & x < 2
\end{cases}$$
🎨 TYT Soru Çözümünde Kolaylıklar
TYT sınavında, mutlak değerli denklemler ve eşitsizlikler sıklıkla karşımıza çıkar. Bu tür soruları çözerken, mutlak değeri parçalı fonksiyon olarak düşünmek ve kritik noktalara dikkat etmek büyük avantaj sağlar.
- 🍎 Adım 1: Kritik Noktaları Bulma: Mutlak değer içindeki ifadeyi sıfır yapan değerleri bulun. Bu değerler, parçalı fonksiyonun kritik noktalarıdır.
- 🍎 Adım 2: Parçalı Fonksiyonu Yazma: Her kritik nokta için mutlak değeri farklı kurallarla tanımlayın.
- 🍎 Adım 3: Denklemi/Eşitsizliği Çözme: Her bir aralık için denklemi veya eşitsizliği ayrı ayrı çözün.
- 🍎 Adım 4: Çözümleri Birleştirme: Bulduğunuz çözümleri, ilgili aralıklarla kesiştirerek geçerli çözümleri belirleyin. Son olarak, tüm geçerli çözümleri birleştirin.
💡 Örnek Soru ve Çözümü
Soru: $|x - 1| + |x + 2| = 5$ denklemini sağlayan $x$ değerlerini bulun.
Çözüm:
- 🍎 Kritik Noktalar: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ ve $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
- 🍎 Parçalı Fonksiyon:
$$|x - 1| = \begin{cases}
x - 1, & x \ge 1 \\
-(x - 1), & x < 1
\end{cases}$$
$$|x + 2| = \begin{cases}
x + 2, & x \ge -2 \\
-(x + 2), & x < -2
\end{cases}$$
- 🍎 Aralıkları İnceleme:
- 🍎 $x < -2$ için: $-(x - 1) - (x + 2) = 5 \Rightarrow -x + 1 - x - 2 = 5 \Rightarrow -2x - 1 = 5 \Rightarrow -2x = 6 \Rightarrow x = -3$. $x = -3$, $x < -2$ aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.
- 🍎 $-2 \le x < 1$ için: $-(x - 1) + (x + 2) = 5 \Rightarrow -x + 1 + x + 2 = 5 \Rightarrow 3 = 5$. Bu aralıkta çözüm yoktur.
- 🍎 $x \ge 1$ için: $(x - 1) + (x + 2) = 5 \Rightarrow 2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. $x = 2$, $x \ge 1$ aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.
- 🍎 Çözüm Kümesi: $\{-3, 2\}$
Bu örnekte görüldüğü gibi, mutlak değerli ifadeleri parçalı fonksiyonlar şeklinde yazmak, denklemi daha kolay çözmemizi sağladı. TYT sınavında bu yöntemi kullanarak benzer soruları daha hızlı ve doğru bir şekilde çözebilirsiniz.
