Polinomlarda çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı

Question

Polinomlarda çift dereceli terimlerin katsayılarını toplarken hangi formülü kullanmam gerektiğini karıştırıyorum. P(1) ve P(-1) değerlerini kullanarak nasıl bir yol izlemeliyim, tam olarak anlayamadım. Bu iki değeri toplayınca neden sadece çift derecelilerin katsayıları kalıyor, onu da tam kavrayamadım.

Answer 1

📊 Polinomlarda Çift Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı

Polinomlarda çift dereceli terimlerin katsayıları toplamını bulmak için öncelikle bir polinomun çift ve tek dereceli terimlerini nasıl ayırt edeceğimizi öğrenmeliyiz.

🔍 Çift ve Tek Dereceli Terimler Nedir?

Bir polinomda:

• 📌 Çift dereceli terimler: \(x^0\), \(x^2\), \(x^4\), \(x^6\), ... şeklinde üssü çift sayı olan terimlerdir
• 📌 Tek dereceli terimler: \(x^1\), \(x^3\), \(x^5\), \(x^7\), ... şeklinde üssü tek sayı olan terimlerdir

🎯 Çift Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı Formülü

Bir P(x) polinomu için çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

\[ \frac{P(1) + P(-1)}{2} \]

formülü ile bulunur.

💡 Bu Formül Nereden Geliyor?

P(1) ifadesi polinomdaki tüm katsayıların toplamını verirken, P(-1) ifadesi ise çift dereceli terimlerin katsayıları toplamından tek dereceli terimlerin katsayıları toplamını çıkarır.

P(1) = Çift + Tek

P(-1) = Çift - Tek

Bu iki denklemi topladığımızda:

P(1) + P(-1) = 2 × Çift

Buradan da: Çift = \(\frac{P(1) + P(-1)}{2}\) elde ederiz.

📝 Örnek Çözüm

P(x) = \(2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 7\) polinomu için çift dereceli terimlerin katsayıları toplamını bulalım:

1. Adım: P(1)'i bulalım

P(1) = \(2(1)^4 - 3(1)^3 + 5(1)^2 - (1) + 7\)

P(1) = \(2 - 3 + 5 - 1 + 7 = 10\)

2. Adım: P(-1)'i bulalım

P(-1) = \(2(-1)^4 - 3(-1)^3 + 5(-1)^2 - (-1) + 7\)

P(-1) = \(2(1) - 3(-1) + 5(1) + 1 + 7\)

P(-1) = \(2 + 3 + 5 + 1 + 7 = 18\)

3. Adım: Formülü uygulayalım

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı = \(\frac{P(1) + P(-1)}{2} = \frac{10 + 18}{2} = \frac{28}{2} = 14\)

4. Adım: Kontrol edelim

Çift dereceli terimler: \(2x^4\), \(5x^2\), \(7\) (sabit terim çift kabul edilir)

Katsayılar toplamı: 2 + 5 + 7 = 14 ✅

💎 Önemli Notlar

• 📌 Sabit terim (\(x^0\)'lı terim) çift dereceli kabul edilir
• 📌 Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı: \(\frac{P(1) - P(-1)}{2}\) formülü ile bulunur
• 📌 Bu yöntem tüm polinomlar için geçerlidir
• 📌 Formülü ezberlemek yerine mantığını anlamak daha önemlidir