polinomlarda işlemler

Question

Polinomlarda işlem yaparken kafam karışıyor. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini nasıl yapacağımı tam olarak bilemiyorum.

Answer 1

➕ Polinomlarda Toplama İşlemi

Polinomlarda toplama işlemi, benzer terimlerin katsayılarının toplanmasıyla yapılır. Benzer terimler, aynı değişkene sahip ve aynı üsse sahip terimlerdir.

• 🍎 Adım 1: Polinomları alt alta, benzer terimler aynı hizaya gelecek şekilde yazın.
• 🍎 Adım 2: Aynı sütunda bulunan terimlerin katsayılarını toplayın.
• 🍎 Adım 3: Elde ettiğiniz sonuçları aynı değişken ve üslerle yazarak yeni polinomu oluşturun.

Örnek: P(x) = 3x² + 2x - 1 ve Q(x) = x² - x + 4 polinomlarını toplayalım.

P(x) = 3x² + 2x - 1
Q(x) = x² - x + 4
-----------------------
P(x) + Q(x) = 4x² + x + 3

➖ Polinomlarda Çıkarma İşlemi

Polinomlarda çıkarma işlemi, çıkarılan polinomun her teriminin işaretini değiştirip, sonra toplama işlemi yapar gibi devam edilir.

• 🍎 Adım 1: Çıkarılacak polinomun tüm terimlerinin işaretini değiştirin.
• 🍎 Adım 2: İlk polinom ile işaretleri değiştirilmiş ikinci polinomu alt alta, benzer terimler aynı hizaya gelecek şekilde yazın.
• 🍎 Adım 3: Aynı sütunda bulunan terimlerin katsayılarını toplayın (çıkarma işlemine dönüştüğü için).
• 🍎 Adım 4: Elde ettiğiniz sonuçları aynı değişken ve üslerle yazarak yeni polinomu oluşturun.

Örnek: P(x) = 5x³ - 2x + 7 ve Q(x) = 2x³ + x² - 3 polinomları için P(x) - Q(x) 'i bulalım.

P(x) = 5x³ + 0x² - 2x + 7
-Q(x) = -2x³ - x² + 0x + 3
---------------------------------
P(x) - Q(x) = 3x³ - x² - 2x + 10

✖️ Polinomlarda Çarpma İşlemi

Polinomlarda çarpma işlemi, bir polinomun her teriminin diğer polinomun her terimiyle ayrı ayrı çarpılması ve elde edilen sonuçların toplanmasıyla yapılır.

• 🍎 Adım 1: Birinci polinomun her terimini, ikinci polinomun her terimiyle çarpın.
• 🍎 Adım 2: Elde ettiğiniz terimleri benzer terimleri bir araya getirerek toplayın.
• 🍎 Adım 3: Sonucu en sade şekilde yazın.

Örnek: P(x) = x + 2 ve Q(x) = x - 3 polinomlarını çarpalım.

P(x) * Q(x) = (x + 2) * (x - 3)
= x * (x - 3) + 2 * (x - 3)
= x² - 3x + 2x - 6
= x² - x - 6

💡 Özel Durumlar (Çarpma İşlemi)

• 🍎 İki Kare Farkı: (a + b) * (a - b) = a² - b²
• 🍎 Tam Kare: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• 🍎 Tam Kare: (a - b)² = a² - 2ab + b²

➗ Polinomlarda Bölme İşlemi

Polinomlarda bölme işlemi, bölünen polinomun bölen polinoma bölünmesi işlemidir. Bu işlem genellikle uzun bölme yöntemiyle yapılır.

• 🍎 Adım 1: Bölünen ve bölen polinomları azalan dereceli olarak yazın.
• 🍎 Adım 2: Bölünenin en yüksek dereceli terimini, bölenin en yüksek dereceli terimine bölün. Bu, bölümün ilk terimini verir.
• 🍎 Adım 3: Bölümün ilk terimini bölen ile çarpın ve sonucu bölünenin altına yazın.
• 🍎 Adım 4: Bölünen polinomdan, elde ettiğiniz sonucu çıkarın.
• 🍎 Adım 5: Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük olana kadar 2-4 adımlarını tekrarlayın.
• 🍎 Adım 6: Son kalan, bölme işleminin kalanını verir.

Örnek: P(x) = x² + 5x + 6 polinomunu Q(x) = x + 2 polinomuna bölelim.

Bu işlemin sonucu: Bölüm = x + 3, Kalan = 0'dır.