Pozitif tam sayı bölenleri sayısı (PBS) nasıl bulunur

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonraki adımda takılıyorum. Üslerin birer fazlasını çarpmamız gerektiğini biliyorum ama bunun nedenini tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

📐 Pozitif Tam Sayı Bölenleri Sayısı (PBS) Nasıl Bulunur?

Bir tam sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak, matematikte sıkça karşılaşılan bir problemdir. Bu sayıyı bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız. 🎯

🔍 Temel Prensip

Bir N pozitif tam sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali şu şekilde olsun:

\( N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times p_3^{a_3} \times \ldots \times p_k^{a_k} \)

Burada;

• ➡️ \( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k \) sayısının asal çarpanlarıdır.
• ➡️ \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_k \) ise bu asal çarpanların kuvvetleridir (üssüdür).

🧮 PBS Formülü

Bu bilgiler ışığında, N sayısının Pozitif Bölenlerinin Sayısı (PBS) aşağıdaki formülle hesaplanır:

\( PBS(N) = (a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times (a_3 + 1) \times \ldots \times (a_k + 1) \)

Yani, her asal çarpanın kuvvetine 1 eklenir ve bu sayılar birbiriyle çarpılır.

📝 Adım Adım PBS Bulma

1. ✅ Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayır: Verilen sayıyı, çarpım halinde yazabileceğin en küçük asal sayılara (2, 3, 5, 7, 11...) böl.
2. ✅ Asal Çarpanların Kuvvetlerini Belirle: Hangi asal sayıdan kaç tane olduğunu bul.
3. ✅ Formülü Uygula: Her asal çarpanın kuvvetine 1 ekle ve tüm sonuçları birbiriyle çarp.

🧩 Örneklerle Açıklama

Örnek 1: 12'nin PBS'sini Bulalım

• ➡️ Asal Çarpanlara Ayırma: \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
• ➡️ Kuvvetlere 1 Ekle: \( (2 + 1) \) ve \( (1 + 1) \)
• ➡️ Çarp: \( 3 \times 2 = 6 \)

💡 Sonuç: 12 sayısının 6 tane pozitif tam sayı böleni vardır. (1, 2, 3, 4, 6, 12)

Örnek 2: 100'ün PBS'sini Bulalım

• ➡️ Asal Çarpanlara Ayırma: \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)
• ➡️ Kuvvetlere 1 Ekle: \( (2 + 1) \) ve \( (2 + 1) \)
• ➡️ Çarp: \( 3 \times 3 = 9 \)

💡 Sonuç: 100 sayısının 9 tane pozitif tam sayı böleni vardır.

Örnek 3: 360'ın PBS'sini Bulalım

• ➡️ Asal Çarpanlara Ayırma: \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)
• ➡️ Kuvvetlere 1 Ekle: \( (3 + 1),\ (2 + 1),\ (1 + 1) \)
• ➡️ Çarp: \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)

💡 Sonuç: 360 sayısının 24 tane pozitif tam sayı böleni vardır.

📌 Önemli Hatırlatmalar

• 🔢 Bu formül, bir sayının tüm pozitif bölenlerinin sayısını verir. (1 ve sayının kendisi de dahil)
• ➕ Formülde kuvvetlere +1 eklenmesinin sebebi, o asal çarpanın bölenlerde \( 0 \)'dan (yani \( p^0 = 1 \)) kendi kuvvetine (\( p^a \)) kadar kullanılabilmesidir, bu da \( a+1 \) farklı seçenek demektir.
• 🎲 Asal sayıların PBS'si her zaman 2'dir. Çünkü asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünür. (Örn: \( 7 = 7^1 \) için PBS = \( (1+1) = 2 \))