Rasyonel sayılar kümesi sıralı mıdır

Question

Rasyonel sayıların sıralı olup olmadığını tam olarak anlayamadım. Mesela kesirli sayıları büyüklük küçüklük olarak nasıl karşılaştırabiliriz? Bu konuda kafam karıştı.

Answer 1

Rasyonel Sayılar Kümesi ve Sıralama

Evet, rasyonel sayılar kümesi sıralıdır. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse, rasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{Q} \)) üzerinde "<" (küçüktür) ilişkisi bir tam sıralama bağıntısıdır.

Sıralama Nedir?

Bir kümenin sıralı olması için, o kümedeki herhangi iki elemanı karşılaştırabilmemiz gerekir. Yani, \( a \) ve \( b \) gibi iki rasyonel sayı aldığımızda, bu iki sayı arasında mutlaka aşağıdaki üç durumdan biri geçerli olmalıdır:

• \( a < b \)
• \( a = b \)
• \( a > b \)

Bu özelliğe trichotomi (üçlü durum) özelliği denir ve rasyonel sayılar bu özelliği sağlar.

Rasyonel Sayılar Nasıl Sıralanır?

İki rasyonel sayıyı karşılaştırmak için genellikle paydalarını eşitleriz. \( \frac{a}{b} \) ve \( \frac{c}{d} \) rasyonel sayılarını ele alalım (burada \( b \) ve \( d \) sıfırdan farklıdır).

Bu iki sayıyı karşılaştırmak için paydalarını eşitleriz:

• \( \frac{a}{b} = \frac{a \times d}{b \times d} \)
• \( \frac{c}{d} = \frac{c \times b}{d \times b} \)

Artık paydaları eşit olduğu için, payları karşılaştırmamız yeterlidir. Eğer \( a \times d < c \times b \) ise, \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \) olur.

Örnek

\( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{3}{4} \) sayılarını karşılaştıralım.

• Paydaları eşitleyelim: \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \) ve \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \)
• Payları karşılaştıralım: \( 8 < 9 \)
• Sonuç: \( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \), yani \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \).

Sıralamanın Diğer Özellikleri

Rasyonel sayılar kümesindeki sıralama aynı zamanda aşağıdaki özellikleri de sağlar:

• Geçişlilik: Eğer \( a < b \) ve \( b < c \) ise, o zaman \( a < c \) olur.
• Toplama ile Uyumluluk: Eğer \( a < b \) ise, her \( c \) rasyonel sayısı için \( a + c < b + c \) olur.
• Çarpma ile Uyumluluk: Eğer \( a < b \) ve \( c > 0 \) ise, \( a \times c < b \times c \) olur. (Eğer \( c < 0 \) ise eşitsizlik yön değiştirir.)

Bu özelliklerin hepsi birlikte, rasyonel sayılar kümesinin (\( \mathbb{Q} \)) sıralı bir cisim olduğunu gösterir.