Soru:
Rasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{Q} \)) üzerinde "küçük veya eşittir" (\( \leq \)) ilişkisinin bir tam sıralama bağıntısı olup olmadığını araştırınız. Bir bağıntının tam sıralama olması için gereken üç koşulu yazınız ve bu koşulların rasyonel sayılar için sağlanıp sağlanmadığını kontrol ediniz.
Çözüm:
💡 Bir bağıntının tam sıralama olması için yansımalı, antisimetrik, geçişli ve her iki elemanın karşılaştırılabilir olması gerekir. Bunu adım adım inceleyelim.
- ➡️ Yansımalılık: Her \( a \in \mathbb{Q} \) için \( a \leq a \) sağlanır mı? Evet, her sayı kendisine eşittir.
- ➡️ Antisimetri: Her \( a, b \in \mathbb{Q} \) için, eğer \( a \leq b \) ve \( b \leq a \) ise \( a = b \) olmalıdır. Bu da rasyonel sayılar için doğrudur.
- ➡️ Geçişlilik: Her \( a, b, c \in \mathbb{Q} \) için, eğer \( a \leq b \) ve \( b \leq c \) ise \( a \leq c \) olmalıdır. Bu özellik de rasyonel sayılarda geçerlidir.
- ➡️ Bağlantılılık (Tamlık): Herhangi iki rasyonel sayı \( a \) ve \( b \) alındığında, \( a \leq b \) veya \( b \leq a \) ilişkisinden en az biri mutlaka doğrudur. İki farklı rasyonel sayıdan biri diğerinden daima küçüktür veya büyüktür. Bu da sağlanır.
✅ Sonuç olarak, \( \leq \) bağıntısı rasyonel sayılar kümesi üzerinde bir tam sıralama bağıntısıdır. Dolayısıyla rasyonel sayılar kümesi sıralıdır.
