Soru:
\( \frac{1}{2} \) ve \( \frac{3}{4} \) rasyonel sayılarını ele alalım. Bu iki sayıyı "küçüktür" (\( < \)) ilişkisine göre karşılaştırınız. Ardından, \( \mathbb{Q} \)'nun sıralı bir küme olduğunu göstermek için bu karşılaştırmanın neden her zaman mümkün olduğunu açıklayınız.
Çözüm:
💡 İki rasyonel sayıyı karşılaştırmak için paydalarını eşitleriz veya çapraz çarpım yaparız.
- ➡️ Adım 1: Sayıları karşılaştıralım: \( \frac{1}{2} \) ve \( \frac{3}{4} \). Paydaları eşitleyelim: \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \), \( \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \).
- ➡️ Adım 2: \( \frac{2}{4} < \frac{3}{4} \) olduğuna göre, \( \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \) sonucuna varırız.
- ➡️ Adım 3: Bu, herhangi iki farklı rasyonel sayının karşılaştırılabileceğini gösteren basit bir örnektir. Genel olarak, herhangi iki rasyonel sayı \( \frac{a}{b} \) ve \( \frac{c}{d} \) için, \( ad < bc \) ise \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \) yazabiliriz. Bu kural her zaman geçerlidir.
- ➡️ Adım 4: Bu karşılaştırma her zaman yapılabildiği ve "<" ilişkisi geçişli olduğu için, rasyonel sayılar kümesi sıralı bir kümedir.
✅ Sonuç: Verilen iki rasyonel sayıdan biri diğerinden küçüktür ve bu, kümenin sıralı olduğunun somut bir kanıtıdır.
