Soru:
Rasyonel sayılar kümesinin yoğun olduğu bilinir. Yani, herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında başka bir rasyonel sayı bulunur. Bu özellik, \( \mathbb{Q} \)'nun sıralı olmasıyla çelişir mi? Açıklayınız.
Çözüm:
💡 Yoğunluk özelliği, bir kümenin sıralı olmasına engel değildir. Tam tersine, sıralı olmayan bir kümede "arasında" kavramından bahsedemeyiz.
- ➡️ Adım 1: Bir kümenin sıralı olması için, herhangi iki elemanın karşılaştırılabilir olması yeterlidir. Yoğunluk ise, karşılaştırma yapıldıktan sonra (yani sıra belirlendikten sonra) araya başka elemanların sıkıştırılabileceği anlamına gelir.
- ➡️ Adım 2: Örneğin, \( a < b \) olan iki rasyonel sayı alalım. Bu sayıların aritmetik ortalaması \( \frac{a+b}{2} \) de bir rasyonel sayıdır ve \( a < \frac{a+b}{2} < b \) eşitsizliğini sağlar.
- ➡️ Adım 3: Bu durum, \( a \) ve \( b \) arasında bir sıra olduğunu (\( a \)'nın \( b \)'den küçük olduğunu) kabul ettiğimiz için anlamlıdır. Yani önce sıralama vardır, sonra yoğunluk bu sıralamanın bir özelliği olarak ortaya çıkar.
✅ Sonuç: Yoğunluk özelliği, rasyonel sayılar kümesinin sıralı olduğu gerçeğini çürütmez, aksine güçlendirir. Sıralı ve aynı zamanda yoğun bir küme örneği oluşturur.
