Soru:
\( A = \{ x \in \mathbb{Q} \,|\, x^2 < 2 \} \) ve \( B = \{ x \in \mathbb{Q} \,|\, x^2 > 2 \} \) kümelerini tanımlayalım. Bu kümeleri sayı doğrusunda gösteriniz. \( A \) kümesinin içinde en büyük eleman var mıdır? \( B \) kümesinin içinde en küçük eleman var mıdır? Bu durum, rasyonel sayılar kümesinin sıralı olma özelliği ile çelişir mi? Açıklayınız.
Çözüm:
💡 Bu soru, rasyonel sayılar kümesinin sıralı olmasına rağmen süreklilik özelliğine sahip olmadığını göstermektedir.
- ➡️ Adım 1: \( A \) ve \( B \) kümeleri, sayı doğrusunda \( \sqrt{2} \) noktasının solunda ve sağında kalan rasyonel sayılardan oluşur. Ancak \( \sqrt{2} \) bir rasyonel sayı değildir.
- ➡️ Adım 2: \( A \) kümesine bakalım. \( A \)'daki her rasyonel sayıdan daha büyük olan başka bir rasyonel sayı her zaman bulunabilir (örneğin, yoğunluk özelliği sayesinde). Bu nedenle \( A \)'nın bir en büyük elemanı yoktur.
- ➡️ Adım 3: Benzer şekilde, \( B \) kümesindeki her rasyonel sayıdan daha küçük olan başka bir rasyonel sayı bulunabilir. Bu nedenle \( B \)'nin bir en küçük elemanı yoktur.
- ➡️ Adım 4: Bu durum, rasyonel sayılar kümesinin sıralı olma özelliğini bozmaz. Çünkü sıralı olmak, herhangi iki elemanın karşılaştırılabilmesi demektir ve burada karşılaştırılamayan bir çift yoktur. Eksik olan, "kesme" özelliğidir (süreklilik).
✅ Sonuç: Rasyonel sayılar kümesi sıralıdır ancak sürekli (complete) değildir. Bu iki kavram birbirinden farklıdır.
