📈 Süreklilik Nedir? (Matematik)
Matematikte süreklilik, bir fonksiyonun grafiğini kalemi kaldırmadan çizebilmek anlamına gelir. Bir fonksiyonun belirli bir noktada veya aralıkta sürekli olması, o noktada veya aralıkta "kopukluk" olmadığı anlamına gelir. 🎯
🔍 Bir Noktada Süreklilik
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında sürekli olması için üç koşulun aynı anda sağlanması gerekir:
- ✅ Fonksiyon o noktada tanımlı olmalıdır: \( f(a) \) değeri bir gerçek sayı olmalıdır.
- ✅ Fonksiyonun o noktada limiti olmalıdır: \( \lim_{x \to a} f(x) \) limiti var olmalıdır.
- ✅ Limit değeri, fonksiyon değerine eşit olmalıdır: \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \) eşitliği sağlanmalıdır.
Bu üç koşuldan herhangi biri sağlanmazsa, fonksiyon o noktada süreksiz olur.
🔄 Süreksizlik Türleri
Süreksizlikler genellikle üç türde incelenir:
- 🧩 Sıçramalı Süreksizlik: Fonksiyonun sağdan ve soldan limitleri var ama birbirine eşit değil. Grafikte bir "sıçrama" görülür.
- ⛰️ Sonsuz Süreksizlik: Fonksiyonun limiti sonsuza gider (veya eksi sonsuza). Grafikte genellikle düşey asimptot vardır.
- 🕳️ Kaldırılabilir Süreksizlik: Fonksiyonun limiti var ama ya fonksiyon o noktada tanımlı değil ya da tanımlı olduğu değer limit değerinden farklı. Bu boşluk, fonksiyonun tanımını değiştirerek "kaldırılabilir".
📊 Örneklerle Süreklilik
Örnek 1: Sürekli Fonksiyon 💡
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir. Grafiği, kesintisiz bir paraboldür.
Örnek 2: Kaldırılabilir Süreksizlik 🕳️
\( g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) fonksiyonu \( x = 1 \) noktasında tanımsızdır. Ancak, bu ifade sadeleştirildiğinde \( g(x) = x + 1 \) elde edilir (x ≠ 1 için). \( x = 1 \) noktasında bir boşluk (delik) vardır. Bu noktada limit 2'dir, ancak \( g(1) \) tanımsızdır. Eğer \( g(1) = 2 \) olarak tanımlanırsa, fonksiyon sürekli hale getirilebilir.
Örnek 3: Sıçramalı Süreksizlik 🧩
\( h(x) = \begin{cases} x+1, & x \geq 0 \\ x-1, & x < 0 \end{cases} \) fonksiyonuna bakalım. \( x = 0 \) noktasında:
- Soldan limit: \( \lim_{x \to 0^-} h(x) = -1 \)
- Sağdan limit: \( \lim_{x \to 0^+} h(x) = 1 \)
Limitler farklı olduğu için genel limit yoktur. Bu nedenle fonksiyon \( x=0 \)'da süreksizdir ve grafikte bir sıçrama görülür.
🎯 Özet
- ➡️ Süreklilik, bir fonksiyonun grafiğinde kopukluk olmaması durumudur.
- ➡️ Bir noktada süreklilik için tanımlı olma, limitin var olması ve ikisinin eşit olması gerekir.
- ➡️ Süreksizlik türlerini anlamak, fonksiyonun davranışını analiz etmede çok önemlidir.
