Soru:
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında sürekli olması için gerekli üç koşulu yazınız ve bu koşulları \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) fonksiyonu için \( x = 2 \) noktasında inceleyiniz.
Çözüm:
💡 Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için üç koşul vardır:
- ➡️ 1. Koşul: Fonksiyon o noktada tanımlı olmalıdır. \( f(2) = \frac{(2)^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0} \) (Belirsizlik). Bu nedenle fonksiyon \( x=2 \) noktasında tanımlı değildir.
- ➡️ 2. Koşul: Fonksiyonun o noktada limiti olmalıdır. \( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 \). Limit vardır ve 4'tür.
- ➡️ 3. Koşul: Fonksiyonun o noktadaki değeri, limite eşit olmalıdır. Fonksiyon \( x=2 \)'de tanımlı olmadığı için bu koşul sağlanamaz.
✅ Sonuç: Üç koşuldan birincisi ve dolayısıyla üçüncüsü sağlanmadığı için fonksiyon \( x=2 \) noktasında sürekli değildir.
