Soru:
Aşağıda parçalı olarak tanımlanmış \( g(x) \) fonksiyonu verilmiştir. Bu fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında sürekli olup olmadığını araştırınız.
\[
g(x) =
\begin{cases}
x^2 + 1, & x < 2 \\
5, & x = 2 \\
2x + 1, & x > 2
\end{cases}
\]
Çözüm:
🧐 Süreklilik için üç koşulu sırayla kontrol edelim.
- ➡️ 1. Koşul (Tanım): \( x = 2 \) noktasında fonksiyon tanımlı mı? Evet, \( g(2) = 5 \) olarak verilmiş.
- ➡️ 2. Koşul (Limit): \( x = 2 \) noktasında limit var mı? Bunun için sağdan ve soldan limitlere bakarız.
- Soldan Limit: \( \lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5 \)
- Sağdan Limit: \( \lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5 \)
Sağdan ve soldan limitler eşit olduğu için \( \lim_{x \to 2} g(x) = 5 \) mevcuttur.
- ➡️ 3. Koşul (Eşitlik): \( \lim_{x \to 2} g(x) = 5 \) ve \( g(2) = 5 \) olduğundan, \( \lim_{x \to 2} g(x) = g(2) \) eşitliği sağlanır.
✅ Tüm koşullar sağlandığı için \( g(x) \) fonksiyonu \( x = 2 \) noktasında süreklidir.
