Soru:
Aşağıda parçalı olarak tanımlanmış \( g(x) \) fonksiyonu verilmiştir. Bu fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında sürekli olup olmadığını inceleyiniz.
\[
g(x) =
\begin{cases}
x^2 + 1, & \text{eğer } x < 2 \\
5, & \text{eğer } x = 2 \\
2x + 1, & \text{eğer } x > 2
\end{cases}
\]
Çözüm:
🔍 Süreklilik için üç koşulu sırayla kontrol edelim.
- ➡️ 1. Tanım Koşulu: \( x = 2 \) için \( g(2) = 5 \) olarak tanımlanmıştır. Yani fonksiyon bu noktada tanımlıdır. ✅
- ➡️ 2. Limit Koşulu: \( x \to 2 \) için limiti bulalım. Sol taraftan limit: \( \lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = (2)^2 + 1 = 5 \). Sağ taraftan limit: \( \lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5 \). Sağ ve sol limitler eşit olduğu için \( \lim_{x \to 2} g(x) = 5 \) mevcuttur. ✅
- ➡️ 3. Eşitlik Koşulu: \( \lim_{x \to 2} g(x) = 5 \) ve \( g(2) = 5 \) olduğundan, \( \lim_{x \to 2} g(x) = g(2) \) eşitliği sağlanır. ✅
✅ Tüm koşullar sağlandığı için, \( g(x) \) fonksiyonu \( x = 2 \) noktasında süreklidir.
