Soru:
\( k(x) = \frac{1}{x-1} \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki süreklilik durumunu inceleyiniz ve süreksizlik türünü belirleyiniz.
Çözüm:
📉 Bu fonksiyonun paydasında \( x-1 \) ifadesi bulunmaktadır.
- ➡️ 1. Adım (Tanım Kontrolü): \( x = 1 \) için payda \( 1-1 = 0 \) olur. Sıfıra bölüm tanımsız olduğundan, \( k(1) \) tanımsızdır. Bu nedenle fonksiyon bu noktada süreksizdir.
- ➡️ 2. Adım (Limit Kontrolü): \( x \to 1 \) iken fonksiyonun limitine bakalım.
- Soldan Limit: \( \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} \). \( x \), 1'e soldan yaklaşırken \( x-1 \) ifadesi 0⁻'a yaklaşır. Pozitif bir sayının negatif bir sıfıra bölümü -∞'a gider. Yani \( \lim_{x \to 1^-} k(x) = -\infty \).
- Sağdan Limit: \( \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} \). \( x \), 1'e sağdan yaklaşırken \( x-1 \) ifadesi 0⁺'a yaklaşır. Pozitif bir sayının pozitif bir sıfıra bölümü +∞'a gider. Yani \( \lim_{x \to 1^+} k(x) = +\infty \).
- ➡️ 3. Adım (Sonuç): Sağdan ve soldan limitler sonlu bir sayı değil, sonsuz olduğu için \( x \to 1 \) iken \( k(x) \) fonksiyonunun limiti yoktur.
✅ Fonksiyon \( x=1 \) noktasında tanımsızdır ve limiti de yoktur/sonsuza ıraksar. Bu tür süreksizliklere sonsuz süreksizlik veya ikinci tür süreksizlik denir. Grafiği bu noktada bir düşey asimptota sahiptir.
