Soru:
Aşağıda grafiği verilen \( k(x) \) fonksiyonu için hangi \( x \) değerlerinde süreksizdir? Süreksizlik nedenlerini (türlerini) açıklayınız.
(Grafik tanımı: Grafik, x=-2'de sonsuza giden bir sıçrama, x=0'da tanımsızlık (delik), x=1'de atlama tipi süreksizlik ve x=3'te süreklilik gösterir.)
Çözüm:
💡 Grafiği yorumlayarak süreksizlik noktalarını ve türlerini belirleyelim.
- ➡️ 1. Nokta (x = -2): Bu noktada grafik sonsuza gitmektedir (düşey asimptot).
Süreksizlik Türü: Limit yoktur (sonsuza gittiği için). Bu bir sonsuz süreksizlik (esansiyel süreksizlik) örneğidir.
- ➡️ 2. Nokta (x = 0): Bu noktada fonksiyon tanımlı değildir (grafikte delik vardır). Ancak, soldan ve sağdan limitler vardır ve birbirine eşittir.
Süreksizlik Türü: Limit vardır ama fonksiyon tanımlı değildir (veya değeri limite eşit değildir). Bu bir kaldırılabilir süreksizlik örneğidir.
- ➡️ 3. Nokta (x = 1): Bu noktada fonksiyon tanımlıdır. Ancak, soldan limit ve sağdan limit birbirinden farklı değerlere sahiptir (atlama vardır).
Süreksizlik Türü: Sonlu bir atlama olduğu için bu bir atlama tipi süreksizlik örneğidir.
- ➡️ 4. Nokta (x = 3): Bu noktada fonksiyon tanımlıdır, limit vardır ve fonksiyon değeri limite eşittir. Grafik bu noktada kopmadan devam etmektedir.
Sonuç: Bu noktada fonksiyon süreklidir.
✅ Sonuç: Fonksiyon \( x = -2 \), \( x = 0 \) ve \( x = 1 \) noktalarında süreksizdir. Süreksizlik türleri sırasıyla sonsuz, kaldırılabilir ve atlama tipidir.
