Soru:
\( h(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyon \( x = 2 \) noktasında sürekli midir? Değilse, süreksizlik türünü belirleyiniz.
Çözüm:
🧠 İlk adım, fonksiyonu sadeleştirerek incelemektir.
- ➡️ 1. Sadeleştirme: Payı çarpanlarına ayıralım: \( h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \). \( x \neq 2 \) için pay ve payda sadeleşir ve \( h(x) = x + 2 \) elde edilir. Ancak bu işlem, fonksiyonun \( x=2 \) noktasında tanımsız olduğu gerçeğini değiştirmez.
- ➡️ 2. Süreklilik Koşullarının İncelenmesi:
- Tanım Koşulu: \( h(2) \) tanımsızdır çünkü payda sıfır olur. ❌ İlk koşul sağlanmaz.
- ➡️ 3. Limit Durumu: \( x \to 2 \) iken \( h(x) \) fonksiyonunun limitine bakalım. Sadeleştirilmiş haliyle \( \lim_{x \to 2} h(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \). Limit mevcut ve sonludur. Bu, fonksiyonun \( x=2 \)'deki süreksizliğinin giderilebilir (kaldırılabilir) türden olduğunu gösterir.
✅ Sonuç: Fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsız olduğu için süreksizdir. Ancak limiti var olduğundan, bu bir giderilebilir süreksizliktir. Eğer \( h(2) = 4 \) olarak yeniden tanımlansaydı, fonksiyon bu noktada sürekli hale gelirdi.
