Soru:
\( h(x) = \sqrt{x^2 - 9} \) fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralığı bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu bir kök fonksiyonudur. Köklü ifadeler, içleri negatif olmadığında reel sayılar kümesinde tanımlı (ve dolayısıyla sürekli) olurlar.
- ➡️ 1. Adım: Fonksiyonun tanımlı olduğu aralığı bulalım.
\( x^2 - 9 \geq 0 \) olmalıdır.
\( (x - 3)(x + 3) \geq 0 \)
- ➡️ 2. Adım: Eşitsizliği çözelim.
Bu eşitsizlik, \( x \leq -3 \) veya \( x \geq 3 \) aralıklarında sağlanır.
- ➡️ 3. Adım: Sürekliliği yorumlayalım.
Fonksiyon, tanımlı olduğu bu kapalı aralıkların iç noktalarında kesinlikle süreklidir. \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktalarında ise sürekliliği kontrol etmek gerekir. Bu noktalarda fonksiyon tanımlıdır (\( h(-3) = 0 \), \( h(3) = 0 \)). Ancak, örneğin \( x=3 \) noktasında sağdan limit \( \lim_{x \to 3^+} \sqrt{x^2 - 9} = 0 \)'dır ve fonksiyon değerine eşittir. Soldan bir limit ise yoktur çünkü fonksiyon \( x<3 \) için tanımlı değildir. Bu durumda, fonksiyon tanım kümesinin bir uç noktasındadır ve bu noktalarda sürekli kabul edilir.
✅ Sonuç: Fonksiyon, tanım kümesi olan \( (-\infty, -3] \cup [3, \infty) \) aralığının tamamında süreklidir.
