Soru:
\( k(x) = \frac{1}{x-1} \) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktayı bulunuz ve süreksizlik türünü belirleyiniz.
Çözüm:
📌 Paydanın sıfır olduğu noktaları bularak başlayalım.
- ➡️ 1. Tanımsız Olduğu Nokta: Payda \( x - 1 = 0 \) olduğunda, yani \( x = 1 \) noktasında fonksiyon tanımsızdır. Dolayısıyla bu noktada süreksizdir.
- ➡️ 2. Limit İncelemesi (Süreksizlik Türü): \( x \to 1 \) iken fonksiyonun limitine bakalım.
- Sağdan limit: \( \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{0^+} = +\infty \)
- Soldan limit: \( \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{0^-} = -\infty \)
- ➡️ 3. Sonuç: Sağ ve sol limitler sonlu bir sayıya eşit olmadığı gibi, ikisi de sonsuza gitmekte ve birbirine eşit değildir.
✅ Bu durum, \( x = 1 \) noktasında bir sonsuz süreksizlik (veya ikinci tür süreksizlik) olduğunu gösterir. Grafikte bu noktada bir düşey asimptot oluşur.
