Süreklilik nedir (Matematik)

Aşağıda parçalı olarak tanımlanmış \( g(x) \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasında sürekli olması için \( a \) ve \( b \) gerçel sayıları ne olmalıdır?

\[ g(x) = \begin{cases} ax + b, & x < 1 \\ 5, & x = 1 \\ 2x^2 - 1, & x > 1 \end{cases} \]

💡 Süreklilik için soldan limit, sağdan limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.

• ➡️ 1. Adım: Soldan limiti hesaplayalım (\( x \to 1^- \)).
  \( \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax + b) = a(1) + b = a + b \)
• ➡️ 2. Adım: Sağdan limiti hesaplayalım (\( x \to 1^+ \)).
  \( \lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - 1) = 2(1)^2 - 1 = 1 \)
• ➡️ 3. Adım: Fonksiyonun noktadaki değerini yazalım.
  \( g(1) = 5 \)
• ➡️ 4. Adım: Süreklilik koşulunu uygulayalım.
  \( \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) \) olmalı.
  Bu durumda: \( a + b = 1 = 5 \)

✅ Sonuç: Bu eşitliklerden \( 1 = 5 \) çıkar ki bu imkansızdır. Bu nedenle, bu fonksiyon \( x=1 \) noktasında hiçbir \( a \) ve \( b \) değeri için sürekli olamaz.