Soru:
\( h(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyon \( x = 2 \) noktasında sürekli midir? Değilse, süreksizlik türünü belirleyiniz.
Çözüm:
🔍 İlk adım, fonksiyonu sadeleştirerek incelemektir.
- ➡️ 1. Adım (Sadeleştirme): Payı çarpanlarına ayıralım: \( h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \). \( x \neq 2 \) için pay ve payda sadeleşir ve \( h(x) = x + 2 \) elde edilir. Yani, \( h(x) \) aslında \( x=2 \) hariç her yerde \( x+2 \) fonksiyonuna eşdeğerdir.
- ➡️ 2. Adım (Süreklilik Koşullarını Kontrol):
- Tanım: \( x = 2 \) noktasında payda sıfır olduğundan fonksiyon tanımsızdır. \( h(2) \) yoktur.
Bu ilk koşulun sağlanmaması bile süreksizlik için yeterlidir.
- ➡️ 3. Adım (Limit ve Süreksizlik Türü): \( \lim_{x \to 2} h(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \) mevcuttur ve sonludur. Ancak fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığı için limit değeri bir fonksiyon değerine eşit olamaz.
✅ Sonuç: Fonksiyon \( x=2 \) noktasında süreksizdir. Limit var ve sonlu olduğu, ancak fonksiyonun tanımsız olduğu bu tür süreksizliklere kaldırılabilir süreksizlik denir. Eğer \( h(2) = 4 \) olarak yeniden tanımlansaydı, fonksiyon sürekli hale gelirdi.
