📚 Tanım Kümesi Nedir?
Bir fonksiyonun tanım kümesi, o fonksiyona girebilecek tüm geçerli girdilerin (genellikle x değerlerinin) oluşturduğu kümedir. Başka bir deyişle, fonksiyonun "yemek yiyebileceği" tüm x değerleridir. 🍽️
🎯 Neden Önemlidir?
Bir fonksiyonu tanımlarken, her girdi için bir çıktının olması gerekir. Tanım kümesi, bu girdilerin neler olabileceğini belirler. Fonksiyonun "tanımsız" olduğu durumları bulmak ve onları tanım kümesinden çıkarmak önemlidir.
🚫 Tanım Kümesini Kısıtlayan Durumlar
Bir fonksiyonun tanım kümesini bulurken, aşağıdaki durumlara dikkat etmeliyiz:
- ➗ Payda Sıfır Olamaz: Kesirli ifadelerde, paydayı sıfır yapan x değerleri tanım kümesine alınamaz.
- 📏 Negatif Karekök (Çift İndisli Kökler): Karekök içindeki ifadeler (veya herhangi bir çift indisli kök) negatif olamaz.
- 📊 Logaritmanın İçi Pozitif Olmalı: Logaritma fonksiyonunun içi (\(log_a(b)\)'deki \(b\)) her zaman sıfırdan büyük olmalıdır.
💡 Örneklerle Açıklama
Örnek 1: Kesirli Fonksiyon
Fonksiyon: \( f(x) = \frac{1}{x-2} \)
Burada payda \(x-2\)'dir. Paydayı sıfır yapan değer tanım kümesine alınamaz.
- ✅ \(x - 2 = 0 \) ise \(x = 2\)
- 📌 Bu nedenle, \(x = 2\) değeri tanım kümesinde olamaz.
- 🎯 Tanım Kümesi: Tüm reel sayılar except \(x = 2\). Matematiksel olarak: \( \{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \neq 2 \} \)
Örnek 2: Karekök İçeren Fonksiyon
Fonksiyon: \( g(x) = \sqrt{x+3} \)
Karekök içindeki ifade sıfır veya pozitif olmalıdır.
- ✅ \(x + 3 \geq 0 \)
- ✅ \(x \geq -3\)
- 🎯 Tanım Kümesi: \( [-3, \infty) \) veya \( \{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \geq -3 \} \)
Örnek 3: Karmaşık Bir Fonksiyon
Fonksiyon: \( h(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-5} \)
Bu fonksiyonda hem karekök hem de payda var. İkisinin kuralını da aynı anda sağlamalıyız.
- ➡️ Karekök Kuralı: \(x - 1 \geq 0 \) → \(x \geq 1\)
- ➡️ Payda Kuralı: \(x - 5 \neq 0 \) → \(x \neq 5\)
Her iki koşulu da sağlayan x değerleri tanım kümesini oluşturur.
- 🎯 Tanım Kümesi: \( [1, 5) \cup (5, \infty) \)
Yani, 1 ve daha büyük tüm sayılar, ancak 5 hariç.
✅ Özet
- 📌 Tanım kümesi, bir fonksiyona koyabileceğimiz tüm geçerli x değerleridir.
- 📌 Fonksiyonun türüne göre (kesirli, kareköklü, logaritmik) farklı kurallar uygulanarak bulunur.
- 📌 Amacımız, fonksiyonu "tanımsız" yapan değerleri elemek ve geri kalan tüm değerleri tanım kümesine almaktır.
