# Teğetin Özellikleri
📐 Teğet Nedir?
Bir eğriye yalnızca bir noktada değen ve o noktada eğriyle aynı eğime sahip olan doğruya teğet denir. Teğet, geometri ve analitik geometride önemli bir kavramdır ve birçok özelliği bulunmaktadır.
🎯 Teğetin Temel Özellikleri
- 📌 Tek Ortak Nokta: Teğet, eğriyi yalnızca bir noktada keser.
- 📐 Eğim Uyumu: Teğetin eğimi, değme noktasındaki türev değerine eşittir.
- 🔄 Yerel Doğrusallık: Teğet, değme noktasının çok küçük bir komşuluğunda eğriye en iyi lineer yaklaşımı verir.
- 📏 Diklik: Bir dairede, yarıçap teğete daima diktir.
🧮 Matematiksel İfadeler
Bir \( y = f(x) \) eğrisinin \( x = a \) noktasındaki teğet denklemi:
\( y - f(a) = f'(a)(x - a) \)
Burada \( f'(a) \), fonksiyonun \( x = a \) noktasındaki türevidir ve teğetin eğimini verir.
🔍 Örneklerle Teğet
📝 Örnek 1: Parabol Teğeti
\( y = x^2 \) parabolünün \( x = 2 \) noktasındaki teğetini bulalım:
- \( f(x) = x^2 \)
- \( f'(x) = 2x \)
- \( f'(2) = 4 \) (teğetin eğimi)
- \( f(2) = 4 \) (değme noktası)
- Teğet denklemi: \( y - 4 = 4(x - 2) \) veya \( y = 4x - 4 \)
📝 Örnek 2: Daire Teğeti
\( x^2 + y^2 = 25 \) çemberinin \( (3,4) \) noktasındaki teğetini bulalım:
- Kapalı türev alalım: \( 2x + 2y \cdot y' = 0 \)
- \( y' = -\frac{x}{y} \)
- \( (3,4) \) noktasında: \( y' = -\frac{3}{4} \)
- Teğet denklemi: \( y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \)
🌟 Teğetin Uygulama Alanları
- 🚀 Fizik: Anlık hız ve ivme hesaplamaları
- 💹 Ekonomi: Marjinal maliyet ve gelir analizleri
- 🏗️ Mühendislik: Eğrilik ve yapı analizleri
- 🔬 Bilim: Değişim oranlarının incelenmesi
💡 Önemli Notlar
- Teğet kavramı, türevin geometrik yorumudur.
- Bir fonksiyonun bir noktada türevi yoksa, o noktada teğeti de yoktur.
- Dikey teğetler için özel durumlar söz konusudur.
- Teğet, fonksiyonun yerel davranışını anlamada önemli bir araçtır.
Teğet kavramını iyi anlamak, matematiksel analizin temelini oluşturur ve birçok disiplinde uygulama alanı bulur.
