Tepe noktası bilinen parabol denklemi

Question

Bu konuyu tam olarak anlayamadım. Tepe noktası verildiğinde denklemi nasıl yazacağımı karıştırıyorum. Özellikle parabolün kollarının yönünü belirlerken formülde hangi işaretleri kullanmam gerektiğinde takılıyorum.

Answer 1

# 📚 Ders Notu: Tepe Noktası Bilinen Parabol Denklemi

🎯 Parabolün Tepe Noktası Nedir?

Parabolün tepe noktası (vertex), parabolün maksimum veya minimum değerini aldığı noktadır. Kolları yukarı yönlü parabollerde minimum, aşağı yönlü parabollerde maksimum noktasıdır. Bu nokta, parabolün simetri ekseni üzerinde bulunur.

📐 Tepe Noktası Bilinen Parabol Denklemi Formülü

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan ve katsayısı \( a \) olan bir parabolün denklemi:

\( y = a(x - r)^2 + k \)**

🔍 Formülün Bileşenleri:

• 🎯 \( a \): Parabolün başkatsayısı (kolların yönünü ve genişliğini belirler)
• 📍 \( r \): Tepe noktasının x koordinatı
• 📍 \( k \): Tepe noktasının y koordinatı
• 📏 \( (x - r) \): Tepe noktasına göre yatay kayma

📊 "a" Katsayısının Etkileri

🔼 Kollar Yukarı Yönlü Parabol:

\( a > 0 \) ise parabolün kolları yukarı doğrudur. Tepe noktası parabolün minimum noktasıdır.

🔽 Kollar Aşağı Yönlü Parabol:

\( a < 0 \) ise parabolün kolları aşağı doğrudur. Tepe noktası parabolün maksimum noktasıdır.

📈 "a"nın Mutlak Değerinin Etkisi:

• \( |a| > 1 \) ise parabol daha dar
• \( |a| < 1 \) ise parabol daha geniş
• \( |a| = 1 \) ise standart genişlikte

🧮 Örnek Problemler ve Çözümleri

📝 Örnek 1: Denklem Yazma

Soru: Tepe noktası \( T(2, -3) \) olan ve \( a = 4 \) olan parabolün denklemini yazınız.

Çözüm:

Formül: \( y = a(x - r)^2 + k \)

\( y = 4(x - 2)^2 + (-3) \)

Cevap: \( y = 4(x - 2)^2 - 3 \)

📝 Örnek 2: Katsayıyı Bulma

Soru: Tepe noktası \( T(-1, 2) \) olan ve \( (0, 5) \) noktasından geçen parabolün denklemini bulunuz.

Çözüm:

1. Genel denklem: \( y = a(x + 1)^2 + 2 \)
2. \( (0, 5) \) noktasını yerine koyalım: \( 5 = a(0 + 1)^2 + 2 \)
3. \( 5 = a(1)^2 + 2 \)
4. \( 5 = a + 2 \)
5. \( a = 3 \)

Cevap: \( y = 3(x + 1)^2 + 2 \)

🔄 Standart Formdan Tepe Noktası Formuna Geçiş

\( y = ax^2 + bx + c \) standart formundaki bir denklemi tepe noktası formuna dönüştürmek için tam kareye tamamlama yöntemi kullanılır:

1. \( a \) parantezine al: \( y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \)
2. Parantez içini tam kare yap: \( y = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c \)
3. Düzenle: \( y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \)

Buradan tepe noktası: \( T\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right) \)

💡 Pratik Uygulamalar

• 🏀 Basketbolda atılan topun yörüngesi
• 🌉 Köprü kemerlerinin tasarımı
• 📡 Uydu antenlerinin şekli
• 🚗 Fren mesafesi hesaplamaları

✅ Özet Tablosu

🏷️ Özellik	📝 Açıklama	📐 Formül
Tepe Noktası Formu	Tepe noktası bilinen parabol denklemi	\( y = a(x - r)^2 + k \)
Tepe Noktası Koordinatları	Parabolün dönüm noktası	\( T(r, k) \)
Standart Formdan Tepe Noktası	\( y = ax^2 + bx + c \) için	\( T\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)

Bu formül, parabolün geometrik özelliklerini anlamada ve çeşitli uygulama problemlerini çözmede temel bir araçtır. Tepe noktası bilindiğinde, parabolün şekli ve konumu hakkında önemli bilgiler elde edebiliriz.