Totoloji nedir (Her zaman doğru)

Question

Mantık dersinde totoloji konusunu anlamakta zorlanıyorum. Önermelerin her durumda doğru çıkması ne demek oluyor? Özellikle doğruluk tablosuyla nasıl gösterildiğini tam kavrayamadım.

Answer 1

📚 Mantık ve Doğruluk Değerleri

Mantıkta, bir bileşik önermenin doğruluk değeri, onu oluşturan basit önermelerin doğruluk değerlerine bağlıdır. Ancak bazı özel bileşik önermeler vardır ki, içindeki basit önermeler ne olursa olsun her zaman doğru sonucunu verir. İşte bu tür önermelere totoloji denir.

🎯 Totoloji Nedir?

Totoloji, bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri (doğru/yanlış) için daima doğru (1) olan bileşik önermedir. Yani, nasıl bir önerme koyarsanız koyun, sonuç her zaman "Doğru" çıkar.

Bunu bir formülle ifade edersek, bir \( p \) önermesi için totoloji şu şekilde gösterilir:

\( p \vee \neg p \)

Bu önerme, "p veya p'nin değili" anlamına gelir ve her zaman doğrudur.

🔍 Totoloji Nasıl Anlaşılır?

Bir önermenin totoloji olup olmadığını anlamak için doğruluk tablosu kullanırız. Eğer doğruluk tablosundaki son sütundaki tüm değerler 1 (Doğru) ise, o önerme bir totolojidir.

🧪 Örnek 1: \( p \vee \neg p \)

Bu önermenin doğruluk tablosunu oluşturalım:

• 📌 \( p = 1 \) (Doğru) iken, \( \neg p = 0 \) (Yanlış). \( 1 \vee 0 = 1 \) (Doğru)
• 📌 \( p = 0 \) (Yanlış) iken, \( \neg p = 1 \) (Doğru). \( 0 \vee 1 = 1 \) (Doğru)

Görüldüğü gibi, \( p \)'nin alabileceği her değer için sonuç her zaman doğru çıkmaktadır. Bu bir totolojidir.

🧪 Örnek 2: \( (p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p) \)

Bu önermeyi de kontrol edelim. Doğruluk tablosu şu şekilde olacaktır:

• 💡 p=1, q=1 → (1→1)=1, (1→1)=1 → 1 ∨ 1 = 1
• 💡 p=1, q=0 → (1→0)=0, (0→1)=1 → 0 ∨ 1 = 1
• 💡 p=0, q=1 → (0→1)=1, (1→0)=0 → 1 ∨ 0 = 1
• 💡 p=0, q=0 → (0→0)=1, (0→0)=1 → 1 ∨ 1 = 1

Tüm durumlarda sonuç doğru (1) olduğu için bu önerme de bir totolojidir. ✅

🚫 Totoloji Olmayan Durum (Çelişki)

Totolojinin tam tersi, her zaman yanlış olan önermelerdir. Bunlara ise çelişki denir. Örneğin, \( p \wedge \neg p \) önermesi ("p ve p'nin değili") bir çelişkidir çünkü hem p'nin hem de değilinin aynı anda doğru olması imkansızdır. Sonuç her zaman yanlıştır.

✅ Özet

• ➡️ Totoloji, her durumda doğru olan önermedir.
• ➡️ Doğruluk tablosundaki son sütunu tamamen 1'lerden oluşur.
• ➡️ Mantıkta önemli bir kavramdır ve ispatlarda sıklıkla kullanılır.
• ➡️ Basit bir örneği: "Yağmur yağıyor ya da yağmıyor" (\( p \vee \neg p \)).