📐 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri
Trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulmak için temel türev kurallarını ve trigonometrik özdeşlikleri kullanırız. Bu fonksiyonların türevleri, fizik ve mühendislik problemlerinde sıkça karşımıza çıkar.
🎯 Temel Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri
- Sinüs Fonksiyonu: \( f(x) = \sin(x) \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \cos(x) \)'tir. ✅
- Kosinüs Fonksiyonu: \( f(x) = \cos(x) \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = -\sin(x) \)'tir. ✅
- Tanjant Fonksiyonu: \( f(x) = \tan(x) \) fonksiyonunun türevi \( f'(x) = \sec^2(x) \)'tir. ✅
📌 Türev İspatları (Özet)
Sinüs türevi: Türev tanımından hareketle ve trigonometrik limitleri kullanarak ispatlanır:
\[ \frac{d}{dx} \sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} \]
Trigonometrik özdeşlikler uygulandığında sonuç \( \cos(x) \) olarak bulunur. 💡
Kosinüs türevi: Benzer şekilde:
\[ \frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h} \]
İşlemler sonucunda \( -\sin(x) \) elde edilir. 💡
🧮 Diğer Önemli Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri
- Kotanjant: \( \frac{d}{dx} \cot(x) = -\csc^2(x) \) 📚
- Sekant: \( \frac{d}{dx} \sec(x) = \sec(x)\tan(x) \) 📚
- Kosekant: \( \frac{d}{dx} \csc(x) = -\csc(x)\cot(x) \) 📚
➡️ Zincir Kuralı ile Bileşke Fonksiyon Türevleri
Eğer trigonometrik fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon varsa zincir kuralını uygularız:
- \( \frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \)
- \( \frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} \)
- \( \frac{d}{dx} \tan(u) = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \)
🎓 Örnek Problemler
Örnek 1: \( f(x) = \sin(3x^2) \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: Zincir kuralını uygularız:
\( f'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2) \)
Örnek 2: \( g(x) = \tan(5x) \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
\( g'(x) = \sec^2(5x) \cdot 5 = 5\sec^2(5x) \)
💎 Önemli Hatırlatmalar
- Sinüs ve kosinüs türevleri birbirine dönüşür 🔄
- Tanjant ve kotanjant türevleri negatif işaretlidir ⚠️
- Zincir kuralı unutulmamalıdır 🔗
- Temel türevler ezberlenmelidir 🎯
