Üçgende yükseklik test çöz

Question

Bu konuyu anladığımı sanıyordum ama testlerde soruları çözerken zorlanıyorum. Özellikle dar açılı ve geniş açılı üçgenlerde yüksekliğin nereye çizileceğini karıştırıyorum. Biraz daha pratik yapmam gerekiyor sanırım.

Answer 1

Üçgende Yükseklik

Bir üçgende yükseklik, bir köşeden karşı kenara (veya bu kenarın uzantısına) çizilen ve o kenara dik olan doğru parçasıdır. Her üçgenin üç yüksekliği vardır.

Yüksekliğin Özellikleri

• Dar açılı üçgenlerde yükseklikler üçgenin iç bölgesindedir.
• Geniş açılı üçgenlerde iki yükseklik üçgenin dışındadır.
• Dik üçgenlerde dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir.
• Bir üçgenin üç yüksekliği bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.

Yükseklik Formülleri

Bir üçgenin alanı, bir kenar ve o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

\( A(ABC) = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \)

Bu formül, bir kenar ve o kenara ait yüksekliği bildiğimizde alanı bulmamızı sağlar. Aynı zamanda, alan ve bir kenar bilgisiyle o kenara ait yüksekliği de bulabiliriz.

Test Çözme Stratejileri

• Alan bağlantısını kurun: Yükseklik sorularında en sık kullanılan yöntem, alan formülüdür. Üçgenin alanını farklı kenar-yükseklik çiftleriyle ifade ederek denklem kurabilirsiniz.
• Özel üçgenlere dikkat edin: Soruda bir dik üçgen, ikizkenar üçgen veya eşkenar üçgen verilmişse, bu üçgenlerin yükseklik özelliklerini kullanın.
  • Eşkenar üçgende kenarortay, açıortay ve yükseklik çakışıktır. Yükseklik aynı zamanda kenarortaydır ve \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) formülüyle bulunur.
  • İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.
• Benzerlikten faydalanın: Yükseklik çizildiğinde oluşan küçük dik üçgenler, orijinal üçgenle veya birbirleriyle benzer olabilir. Bu benzerlik oranlarını kullanarak yüksekliği bulabilirsiniz.
• Pisagor Teoremini unutmayın: Yükseklik çizdiğinizde oluşan dik üçgenlerde Pisagor Bağıntısı sıkça kullanılır.

Örnek Bir Soru Tipi

ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 17 cm ve |BC| = 21 cm'dir. A köşesinden [BC] kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm:

1. Adım: Yüksekliği çizelim ve ayağını H olarak adlandıralım. [AH] = h dersek, [BH] = x ise [HC] = 21 - x olur.

2. Adım: ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor Teoremini uygulayalım.

ABH üçgeninde: \( h^2 + x^2 = 10^2 \)

ACH üçgeninde: \( h^2 + (21 - x)^2 = 17^2 \)

3. Adım: İki denklemi taraf tarafa çıkararak x'i bulalım.

\( [h^2 + (21 - x)^2] - [h^2 + x^2] = 289 - 100 \)

\( (441 - 42x + x^2) - x^2 = 189 \)

\( 441 - 42x = 189 \)

\( 42x = 252 \) → \( x = 6 \) cm

4. Adım: x değerini ilk denklemde yerine koyarak h'yi bulalım.

\( h^2 + 6^2 = 100 \)

\( h^2 + 36 = 100 \)

\( h^2 = 64 \) → \( h = 8 \) cm

Cevap: A köşesinden [BC] kenarına çizilen yükseklik 8 cm'dir.

Bu örnekte olduğu gibi, soruları çözerken sistematik bir şekilde ilerlemek ve doğru denklemleri kurmak çok önemlidir. Bol bol test çözerek bu stratejileri pekiştirebilirsiniz.

Answer 2

Üçgende Yükseklik Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde A köşesinden [BC] kenarına çizilen yüksekliğin ayağı H noktasıdır. |AH| = 6 cm, |BC| = 10 cm ve |BH| = 4 cm olduğuna göre, |HC| kaç cm'dir?
a) 4   b) 5   c) 6   d) 7   e) 8
Cevap: c) 6
Çözüm: |BH| + |HC| = |BC| olduğundan, 4 + |HC| = 10 ⇒ |HC| = 6 cm bulunur.

Soru 2: Bir dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir. Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
a) 4,2   b) 4,4   c) 4,6   d) 4,8   e) 5
Cevap: d) 4,8
Çözüm: Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik formülü \( h = \frac{a \cdot b}{c} \) ile bulunur. \( h = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4,8 \) cm.

Soru 3: Taban alanı 24 cm² olan bir üçgenin bu tabana ait yüksekliği 6 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 48   b) 60   c) 72   d) 84   e) 96
Cevap: c) 72
Çözüm: Üçgenin alanı = (Taban × Yükseklik)/2 formülü ile hesaplanır. Verilen taban alanı 24 cm² ise, Alan = 24 × 6 / 2 = 144 / 2 = 72 cm².