Üslü sayılarda toplama çıkarma çarpma bölme konu anlatımı

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum çünkü tabanlar aynı olmayınca kurallar karışıyor. Özellikle toplama ve çıkarma işlemlerinde neden üssü aynı yapmamız gerektiğini tam kavrayamadım. Çarpma ve bölmede ise üsleri toplayıp çıkarmak bana mantıksız geliyor, bu kuralın nereden çıktığını anlamak istiyorum.

Answer 1

Üslü Sayılarda Temel İşlemler

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpılmasını ifade eden matematiksel gösterimlerdir. aⁿ ifadesinde, a'ya taban, n'ye ise kuvvet (üs) denir. Bu derste üslü sayılarla dört işlemi inceleyeceğiz.

1. Toplama ve Çıkarma İşlemi

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için tabanların ve üslerin aynı olması gerekir. Eğer bu koşul sağlanıyorsa, katsayılar toplanır veya çıkarılır, ortak üs ise aynen yazılır.

Genel Kural:

\( k \cdot a^n + m \cdot a^n = (k + m) \cdot a^n \)

\( k \cdot a^n - m \cdot a^n = (k - m) \cdot a^n \)

Örnekler:

• \( 5 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^3 = (5 + 3) \cdot 2^3 = 8 \cdot 8 = 64 \)
• \( 7^4 + 2 \cdot 7^4 = (1 + 2) \cdot 7^4 = 3 \cdot 2401 = 7203 \)
• \( 10 \cdot 5^2 - 4 \cdot 5^2 = (10 - 4) \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \)

Uyarı: Tabanları veya üsleri aynı olmayan ifadelerde toplama/çıkarma yapılamaz. Örneğin, \( 2^3 + 2^4 \) işlemi \( 8 + 16 = 24 \) şeklinde normal toplama olarak çözülür, üslü ifadeler birleştirilemez.

2. Çarpma İşlemi

Üslü sayılarda çarpma işlemi için iki farklı durum vardır:

a) Tabanları Aynı Olan Üslü Sayıların Çarpımı

Bu durumda, taban aynen yazılır ve üsler toplanır.

Kural: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Örnekler:

• \( 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256 \)
• \( 10^4 \cdot 10^{-2} = 10^{4+(-2)} = 10^{2} = 100 \)

b) Üsleri Aynı Olan Üslü Sayıların Çarpımı

Bu durumda, tabanlar çarpılır ve ortak üs aynen yazılır.

Kural: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)

Örnekler:

• \( 3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2 = 225 \)
• \( 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4 = 1296 \)

3. Bölme İşlemi

Üslü sayılarda bölme işlemi için de iki farklı durum vardır:

a) Tabanları Aynı Olan Üslü Sayıların Bölümü

Bu durumda, taban aynen yazılır ve payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.

Kural: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Örnekler:

• \( \frac{2^7}{2^4} = 2^{7-4} = 2^3 = 8 \)
• \( \frac{5^3}{5^5} = 5^{3-5} = 5^{-2} = \frac{1}{25} \)

b) Üsleri Aynı Olan Üslü Sayıların Bölümü

Bu durumda, tabanlar bölünür ve ortak üs aynen yazılır.

Kural: \( \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \)

Örnekler:

• \( \frac{6^3}{2^3} = (\frac{6}{2})^3 = 3^3 = 27 \)
• \( \frac{10^2}{5^2} = (\frac{10}{5})^2 = 2^2 = 4 \)

Özet

• Toplama/Çıkarma: Yalnızca taban ve üs aynı ise yapılır. Katsayılar toplanır/çıkarılır.
• Çarpma (Tabanlar Aynı): Taban aynı kalır, üsler toplanır. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• Çarpma (Üsler Aynı): Tabanlar çarpılır, üs aynı kalır. \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)
• Bölme (Tabanlar Aynı): Taban aynı kalır, üsler çıkarılır. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
• Bölme (Üsler Aynı): Tabanlar bölünür, üs aynı kalır. \( \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \)

Answer 2

Üslü sayılarda toplama çıkarma çarpma bölme Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir bakteri kültüründe bakteri sayısı her saat başı 3 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 5 bakteri bulunan kültürde 4 saat sonra kaç bakteri olur?
a) 15
b) 125
c) 405
d) 625
e) 1215
Cevap: c) 405
Çözüm: Bakteri sayısı = \(5 \times 3^4 = 5 \times 81 = 405\)

Soru 2: \(2^5 + 2^5 + 2^5 + 2^5\) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a) \(2^6\)
b) \(2^7\)
c) \(2^8\)
d) \(2^9\)
e) \(2^{10}\)
Cevap: b) \(2^7\)
Çözüm: \(2^5 + 2^5 + 2^5 + 2^5 = 4 \times 2^5 = 2^2 \times 2^5 = 2^{2+5} = 2^7\)

Soru 3: \(\frac{3^8 \times 27^2}{9^5}\) işleminin sonucu kaçtır?
a) 3
b) 9
c) 27
d) 81
e) 243
Cevap: b) 9
Çözüm: \(\frac{3^8 \times (3^3)^2}{(3^2)^5} = \frac{3^8 \times 3^6}{3^{10}} = \frac{3^{14}}{3^{10}} = 3^{14-10} = 3^4 = 81\) (Dikkat: Burada işlem sonucu 81 olmalı, ancak seçeneklerde 81 d şıkkında verilmiş. Cevap d) 81 olarak düzeltilmeli.)