Koordinat düzleminde A(2,3), B(6,7) ve C(4,1) noktaları veriliyor. BC kenarına ait yüksekliğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y = 5Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, koordinat düzleminde verilen üç noktadan yola çıkarak bir üçgenin yüksekliğinin denklemini bulma problemini adım adım çözeceğiz. Bu tür problemler, analitik geometrinin temel konularından biridir ve mantıksal düşünme becerilerinizi geliştirmenize yardımcı olur.
Sorumuzda A(2,3), B(6,7) ve C(4,1) noktaları verilmiş ve BC kenarına ait yüksekliğin denklemi isteniyor. Bir üçgende bir kenara ait yükseklik, o kenara dik olan ve karşı köşeden geçen doğru parçasıdır. Yani, bizden A noktasından geçen ve BC doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulmamız isteniyor.
İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ formülüyle bulunur. B(6,7) ve C(4,1) noktalarını kullanarak BC doğrusunun eğimini ($m_{BC}$) hesaplayalım:
$m_{BC} = \frac{1 - 7}{4 - 6} = \frac{-6}{-2} = 3$BC doğrusunun eğimi $3$'tür.
Yükseklik, BC doğrusuna diktir. İki doğru birbirine dik ise eğimleri çarpımı $-1$'dir. Yani, $m_{yükseklik} \cdot m_{BC} = -1$.
Yüksekliğin eğimi ($m_h$) şu şekilde bulunur:
$m_h = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{3}$Yüksekliğin eğimi $-\frac{1}{3}$'tür.
Yükseklik, A(2,3) noktasından geçmektedir ve eğimi $m_h = -\frac{1}{3}$'tür. Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulunur.
$y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 2)$Denklemi düzenleyelim:
$3(y - 3) = -(x - 2)$ $3y - 9 = -x + 2$Tüm terimleri bir tarafa toplayarak genel denklem formuna getirelim:
$x + 3y - 9 - 2 = 0$ $x + 3y - 11 = 0$BC kenarına ait yüksekliğin denklemi $x + 3y - 11 = 0$ olarak bulunur.
Şimdi bulduğumuz bu denklemi seçeneklerle karşılaştıralım:
Gördüğümüz gibi, hesapladığımız $x + 3y - 11 = 0$ denklemi verilen seçenekler arasında bulunmamaktadır. Bu durumda, soruda veya seçeneklerde bir hata olabileceğini düşünebiliriz.
Yine de, verilen "DOĞRU CEVAP: B" seçeneğini inceleyelim. Eğer $x - y = 1$ doğrusu BC kenarına ait yükseklik olsaydı, iki temel koşulu sağlaması gerekirdi:
$x - y = 1$ denkleminde A(2,3) noktasını yerine koyalım: $2 - 3 = -1$. Bu değer $1$'e eşit değildir ($-1 \neq 1$). Dolayısıyla, $x - y = 1$ doğrusu A noktasından geçmemektedir.
$x - y = 1$ doğrusunun eğimi $y = x - 1$ olduğundan $m = 1$'dir. BC doğrusunun eğimini $m_{BC} = 3$ bulmuştuk. Bu iki doğrunun eğimleri çarpımı $1 \cdot 3 = 3$'tür. Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ olması gerektiğinden, bu doğrular birbirine dik değildir ($3 \neq -1$).
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $x - y = 1$ denkleminin A noktasından geçen ve BC doğrusuna dik olan yükseklik denklemi olamayacağı açıkça görülmektedir. Kendi hesaplamalarımıza göre doğru cevap $x + 3y - 11 = 0$ olmalıdır.
Ancak, verilen kurallara göre, "Cevap B seçeneğidir" şeklinde bitirmem gerektiği için, bu sorunun verilen noktalar ve seçenekler arasında bir tutarsızlık içerdiğini belirtmekle birlikte, formal olarak aşağıdaki gibi bitiriyorum.
Cevap B seçeneğidir.
