A = {x | x bir rasyonel sayı}
B = {x | x bir irrasyonel sayı}
C = {x | x bir tam sayı}
Yukarıda verilen kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) A ∩ B boş kümedir
B) C ⊂ B
C) A ∪ B tam sayılar kümesidir
D) B ⊂ C
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, farklı sayı kümelerinin tanımlarını ve birbirleriyle olan ilişkilerini anlamamız gerekiyor. Gelin, her bir kümeyi ve seçenekleri adım adım inceleyelim.
- Verilen Kümeleri Tanıyalım:
- $A = \{x \mid x \text{ bir rasyonel sayı}\}$: Bu küme, rasyonel sayılar kümesidir. Rasyonel sayılar, $p/q$ şeklinde yazılabilen sayılardır; burada $p$ bir tam sayı ve $q$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Örnekler: $0$, $5$, $-2/3$, $0.25$.
- $B = \{x \mid x \text{ bir irrasyonel sayı}\}$: Bu küme, irrasyonel sayılar kümesidir. İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan sayılardır. Yani $p/q$ şeklinde yazılamazlar ve ondalık gösterimleri devirli olmayan sonsuz basamaklı sayılardır. Örnekler: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.
- $C = \{x \mid x \text{ bir tam sayı}\}$: Bu küme, tam sayılar kümesidir. Tam sayılar, pozitif doğal sayılar, negatif doğal sayılar ve sıfırdan oluşur. Örnekler: $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$.
- Seçenekleri İnceleyelim:
- A) $A \cap B$ boş kümedir
- Bir sayı aynı anda hem rasyonel hem de irrasyonel olamaz. Bir sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. Bu iki küme tamamen ayrıktır, yani ortak hiçbir elemanları yoktur.
- Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesi ($A$) ile irrasyonel sayılar kümesinin ($B$) kesişimi (ortak elemanları) boş kümedir ($\emptyset$).
- Bu ifade doğrudur.
- B) $C \subset B$
- Bu ifade, tam sayılar kümesinin ($C$) irrasyonel sayılar kümesinin ($B$) bir alt kümesi olduğunu belirtir. Yani her tam sayının aynı zamanda bir irrasyonel sayı olması gerektiğini söyler.
- Ancak, tam sayılar (örneğin $1, 0, -5$) rasyonel sayılardır (çünkü $1 = 1/1$, $0 = 0/1$, $-5 = -5/1$ şeklinde yazılabilirler). İrrasyonel sayılar ise rasyonel olmayan sayılardır.
- Dolayısıyla, hiçbir tam sayı irrasyonel değildir. Bu ifade yanlıştır.
- C) $A \cup B$ tam sayılar kümesidir
- Bu ifade, rasyonel sayılar kümesi ($A$) ile irrasyonel sayılar kümesinin ($B$) birleşiminin tam sayılar kümesi olduğunu belirtir.
- Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar birleştiğinde, tüm gerçek sayılar kümesini ($\mathbb{R}$) oluştururlar.
- Tam sayılar kümesi ($\mathbb{Z}$) ise gerçek sayılar kümesinin sadece bir alt kümesidir. Örneğin, $1/2$ bir gerçek sayıdır ama tam sayı değildir. $\sqrt{2}$ bir gerçek sayıdır ama tam sayı değildir.
- Bu nedenle, $A \cup B$ tam sayılar kümesi değil, gerçek sayılar kümesidir. Bu ifade yanlıştır.
- D) $B \subset C$
- Bu ifade, irrasyonel sayılar kümesinin ($B$) tam sayılar kümesinin ($C$) bir alt kümesi olduğunu belirtir. Yani her irrasyonel sayının aynı zamanda bir tam sayı olması gerektiğini söyler.
- Ancak, irrasyonel sayılar (örneğin $\sqrt{3}$, $\pi$) tam sayı değildir. Tam sayılar kümesi sadece $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$ gibi kesirsiz ve köksüz sayılardan oluşur.
- Dolayısıyla, hiçbir irrasyonel sayı tam sayı değildir. Bu ifade yanlıştır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece A seçeneğinin doğru olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
