Tümevarım yöntemi ile ispat Test 2

\(3^{2n} - 1\) ifadesinin 8'e tam bölündüğünü tümevarımla ispat ederken, tümevarım adımında aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılmalıdır?

A) n=k+1 için \(3^{2(k+1)} - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 1\) yazılıp düzenlenir
B) n=1 için ifadenin 8'e bölündüğü gösterilir
C) n=k-1 için ifadenin 8'e bölündüğü varsayılır
D) İfadenin tüm n değerleri için 8'e bölündüğü ilan edilir

Tümevarım yöntemiyle bir ifadenin doğruluğunu ispatlarken izlenmesi gereken adımlar şunlardır:

• 1. Adım (Temel Adım): İfadenin en küçük bir değer için (genellikle n=1 veya n=0) doğru olduğunu göstermeliyiz. Bu soruda B seçeneği temel adımı ifade ediyor, ancak soru tümevarım adımıyla ilgili olduğu için bu seçeneği şu an için değerlendirmiyoruz.
• 2. Adım (Tümevarım Hipotezi): İfadenin bir k değeri için doğru olduğunu varsaymalıyız. Yani, $3^{2k} - 1$'in 8'e bölündüğünü kabul ediyoruz.
• 3. Adım (Tümevarım Adımı): İfadenin k+1 değeri için de doğru olduğunu göstermeliyiz. Yani, $3^{2(k+1)} - 1$'in 8'e bölündüğünü göstermeliyiz. İşte bu adımda A seçeneğinde verilen işlem yapılmalıdır.

A seçeneğinde, $n = k+1$ için ifade şu şekilde yazılıyor:

$3^{2(k+1)} - 1 = 3^{2k+2} - 1 = 3^{2k} \cdot 3^2 - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 1$

Bu ifadeyi düzenleyerek, tümevarım hipotezini (yani $3^{2k} - 1$'in 8'e bölündüğünü) kullanabileceğimiz bir hale getirmeliyiz. Şöyle devam edebiliriz:

$9 \cdot 3^{2k} - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 9 + 8 = 9(3^{2k} - 1) + 8$

Burada $3^{2k} - 1$'in 8'e bölünebildiğini (tümevarım hipotezi) ve 8'in de 8'e bölünebildiğini görüyoruz. Dolayısıyla, $9(3^{2k} - 1) + 8$ ifadesi de 8'e tam bölünür. Bu, $3^{2(k+1)} - 1$'in de 8'e bölündüğünü gösterir.

C seçeneği yanlıştır çünkü tümevarım adımında n=k-1 değil, n=k+1 için doğruluğu göstermeliyiz.

D seçeneği ise tümevarım ispatının sonucu olabilir, ancak tümevarım adımının kendisi değildir.

Bu nedenle, tümevarım adımında yapılması gereken işlem A seçeneğinde doğru olarak verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir