Bugün, bir logaritma fonksiyonunun tanım kümesini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = \log_3(9-x^2)$.
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için belirli şartlar vardır. Bu şartları hatırlayarak çözümümüze başlayalım:
- Bir $\log_b(a)$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, taban $b$ pozitif ve 1'den farklı olmalıdır ($b > 0$ ve $b \neq 1$).
- Logaritmanın içindeki ifade (argüman) $a$ ise kesinlikle pozitif olmalıdır ($a > 0$).
Şimdi bu kuralları sorumuzdaki fonksiyona uygulayalım:
- Fonksiyonumuzda taban $b=3$'tür. $3 > 0$ ve $3 \neq 1$ olduğu için taban şartı sağlanmaktadır. Bu kısımda bir sorun yoktur.
- Logaritmanın içindeki ifade (argüman) $9-x^2$'dir. Bu ifadenin kesinlikle pozitif olması gerekmektedir. Yani, $9-x^2 > 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
Şimdi $9-x^2 > 0$ eşitsizliğini adım adım çözelim:
- Eşitsizliği daha kolay çözmek için $x^2$'yi eşitsizliğin diğer tarafına atalım: $9 > x^2$.
- Bu eşitsizliği $x^2 < 9$ şeklinde de yazabiliriz.
- $x^2 < 9$ eşitsizliğini çözmek için, $x$ değerlerinin karesi $9$'dan küçük olmalıdır. Bu, $x$ değerinin $-3$ ile $3$ arasında olması gerektiği anlamına gelir. Yani, $-3 < x < 3$.
- Bu tür bir eşitsizliği çözmenin bir diğer yolu da kritik noktaları bulmaktır. $9-x^2 = 0$ denklemini çözdüğümüzde $x^2 = 9$ ve dolayısıyla $x = 3$ veya $x = -3$ kritik noktalarını buluruz. Bu noktalar bir sayı doğrusunda işaretlenir ve aralıklarda işaret incelemesi yapılır. Örneğin, $x=0$ için $9-0^2 = 9 > 0$ olduğundan, $(-3, 3)$ aralığı eşitsizliği sağlar.
Bu eşitsizlik, $x$ değerlerinin $-3$ ile $3$ arasında olması gerektiğini söyler. Yani, $x$ değeri $-3$'ten büyük ve $3$'ten küçük olmalıdır. Bu aralık, matematiksel olarak açık aralık gösterimiyle $(-3, 3)$ şeklinde ifade edilir.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
