Reel sayılarda tanımlı Δ işlemi aΔb = 2a + 2b - ab şeklinde veriliyor. Bu işlem için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Yalnızca değişme özelliği vardırSevgili öğrenciler, bu soruda bize reel sayılarda tanımlı bir ikili işlem olan $\Delta$ verilmiş ve bu işlemin hangi özelliklere sahip olduğunu bulmamız isteniyor. Bir işlemin temel özellikleri değişme (komütatiflik) ve birleşme (asosiyatiflik) özellikleridir. Şimdi bu özellikleri adım adım inceleyelim.
Bir $\Delta$ işleminin değişme özelliğine sahip olması için, her $a, b$ reel sayısı için $a\Delta b = b\Delta a$ eşitliğinin sağlanması gerekir. Bize verilen işlem $a\Delta b = 2a + 2b - ab$ şeklindedir.
Önce $a\Delta b$ ifadesini yazalım:
$a\Delta b = 2a + 2b - ab$
Şimdi $b\Delta a$ ifadesini yazalım. Yani işlemdeki $a$ yerine $b$, $b$ yerine $a$ yazalım:
$b\Delta a = 2b + 2a - ba$
Reel sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği olduğu için $ab = ba$ olduğunu biliyoruz. Bu durumda:
$2a + 2b - ab = 2b + 2a - ba$ eşitliği sağlanır.
Görüldüğü gibi $a\Delta b = b\Delta a$ olduğu için $\Delta$ işlemi değişme özelliğine sahiptir.
Bir $\Delta$ işleminin birleşme özelliğine sahip olması için, her $a, b, c$ reel sayısı için $(a\Delta b)\Delta c = a\Delta (b\Delta c)$ eşitliğinin sağlanması gerekir. Bu eşitliğin her zaman doğru olup olmadığını kontrol edelim.
Önce sol tarafı, yani $(a\Delta b)\Delta c$ ifadesini hesaplayalım:
İlk olarak $a\Delta b$ ifadesini bulalım: $a\Delta b = 2a + 2b - ab$.
Şimdi bu sonucu $c$ ile işleme sokalım. İşlem tanımına göre, birinci eleman $X = (2a + 2b - ab)$ ve ikinci eleman $c$ olacak:
$(a\Delta b)\Delta c = 2(2a + 2b - ab) + 2c - (2a + 2b - ab)c$
Parantezleri açalım ve düzenleyelim:
$= 4a + 4b - 2ab + 2c - (2ac + 2bc - abc)$
$= 4a + 4b - 2ab + 2c - 2ac - 2bc + abc$ (Bu bizim sol taraf ifademiz.)
Şimdi sağ tarafı, yani $a\Delta (b\Delta c)$ ifadesini hesaplayalım:
İlk olarak $b\Delta c$ ifadesini bulalım: $b\Delta c = 2b + 2c - bc$.
Şimdi $a$ ile bu sonucu işleme sokalım. İşlem tanımına göre, birinci eleman $a$ ve ikinci eleman $Y = (2b + 2c - bc)$ olacak:
$a\Delta (b\Delta c) = 2a + 2(2b + 2c - bc) - a(2b + 2c - bc)$
Parantezleri açalım ve düzenleyelim:
$= 2a + 4b + 4c - 2bc - (2ab + 2ac - abc)$
$= 2a + 4b + 4c - 2bc - 2ab - 2ac + abc$ (Bu bizim sağ taraf ifademiz.)
Şimdi sol ve sağ taraf ifadelerini karşılaştıralım:
Sol taraf: $4a + 4b - 2ab + 2c - 2ac - 2bc + abc$
Sağ taraf: $2a + 4b + 4c - 2bc - 2ab - 2ac + abc$
Bu iki ifade birbirine eşit değildir. Örneğin, sol tarafta $a$'nın katsayısı $4$ iken, sağ tarafta $2$'dir. Benzer şekilde $c$'nin katsayıları da farklıdır ($2$ ve $4$).
Dolayısıyla, $\Delta$ işlemi birleşme özelliğine sahip değildir.
Yaptığımız incelemeler sonucunda:
$\Delta$ işlemi değişme özelliğine sahiptir.
$\Delta$ işlemi birleşme özelliğine sahip değildir.
Bu durumda, verilen seçeneklerden yalnızca değişme özelliğinin olduğunu belirten seçenek doğru olacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
