Olay nedir (Olasılık) Test 2

Hilesiz bir zar atıldığında "gelen sayının 2 veya 3 olması" olayı ile "gelen sayının çift olması" olayı için ne söylenebilir?

A) Ayrık olaylardır
B) Bağımsız olaylardır
C) Eşit olasılıklı olaylardır
D) Ortak elemanları vardır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu çözmek için öncelikle bir zar atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçları ve ardından soruda bahsedilen her iki olayın elemanlarını belirlememiz gerekiyor. Daha sonra bu olayların birbirleriyle olan ilişkilerini seçenekler üzerinden değerlendireceğiz.

• Adım 1: Örnek Uzayı Belirleyelim

  Hilesiz bir zar atıldığında gelebilecek tüm sayılar kümesine örnek uzay (S) denir. Bu küme şöyledir:

  $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

  Örnek uzayımızın eleman sayısı $n(S) = 6$'dır.

• Adım 2: Birinci Olayı Tanımlayalım

  Soruda bahsedilen birinci olay "gelen sayının 2 veya 3 olması" olayıdır. Bu olaya A olayı diyelim.

  A olayının elemanları şunlardır:

  $A = \{2, 3\}$

  A olayının eleman sayısı $n(A) = 2$'dir.

• Adım 3: İkinci Olayı Tanımlayalım

  Soruda bahsedilen ikinci olay "gelen sayının çift olması" olayıdır. Bu olaya B olayı diyelim.

  B olayının elemanları şunlardır:

  $B = \{2, 4, 6\}$

  B olayının eleman sayısı $n(B) = 3$'tür.

• Adım 4: Olayları Karşılaştıralım ve Seçenekleri Değerlendirelim

  Şimdi A ve B olaylarının elemanlarını kullanarak seçenekleri tek tek inceleyelim:

  • A) Ayrık olaylardır: Ayrık olaylar, ortak elemanı olmayan olaylardır. Yani $A \cap B = \emptyset$ olmalıdır.

    A olayının elemanları $\{2, 3\}$ ve B olayının elemanları $\{2, 4, 6\}$'dır. Bu iki kümenin kesişimi (ortak elemanları) $A \cap B = \{2\}$'dir. Ortak elemanları olduğu için bu olaylar ayrık olaylar değildir. Bu seçenek yanlıştır.

  • B) Bağımsız olaylardır: İki olayın bağımsız olması için $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ eşitliği sağlanmalıdır.
    • $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
    • $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
    • $P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{6}$ (çünkü ortak eleman sadece $2$'dir)

    Şimdi eşitliği kontrol edelim: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. Görüldüğü gibi $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ eşitliği sağlanmaktadır. Yani bu olaylar bağımsızdır. Ancak seçenekler arasında olayların elemanları arasındaki doğrudan ilişkiyi ifade eden daha temel bir seçenek bulunmaktadır.

  • C) Eşit olasılıklı olaylardır: Eşit olasılıklı olaylar, olasılıkları birbirine eşit olan olaylardır.

    $P(A) = \frac{1}{3}$ ve $P(B) = \frac{1}{2}$ olduğundan, $P(A) \neq P(B)$'dir. Dolayısıyla bu olaylar eşit olasılıklı olaylar değildir. Bu seçenek yanlıştır.

  • D) Ortak elemanları vardır: Ortak elemanları olması demek $A \cap B \neq \emptyset$ demektir.

    A olayının elemanları $\{2, 3\}$ ve B olayının elemanları $\{2, 4, 6\}$'dır. Bu iki kümenin kesişimi $A \cap B = \{2\}$'dir. Görüldüğü gibi, her iki olayın da ortak elemanı olan $2$ sayısı mevcuttur. Bu ifade doğrudur.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, A ve B olaylarının ortak elemanı olduğu açıkça görülmektedir.

Cevap D seçeneğidir.