Bir torbada 8 madeni para vardır. Bunlardan 7'si gerçek (10 gram), 1'i sahte (11 gram) paradır. Teraziyi sadece 2 kez kullanarak sahte parayı kesinlikle bulmak için ilk ölçümde kaç para karşılaştırılmalıdır?
A) 2'ye 2
B) 3'e 3
C) 4'e 4
D) 5'e 3
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, bir denge terazisi kullanarak sahte bir parayı bulma üzerine kurulu klasik bir mantık bulmacasıdır. Amacımız, teraziyi sadece iki kez kullanarak sahte parayı kesinlikle bulmaktır. Sahte para gerçek paralardan daha ağırdır.
Bir denge terazisiyle yapılan her ölçümün 3 olası sonucu vardır:
- Sol taraf daha ağır gelir.
- Sağ taraf daha ağır gelir.
- İki taraf da dengede kalır.
Bu 3 olası sonuç sayesinde, her ölçümde şüpheli paraların sayısını en fazla 3'te 1 oranında azaltabiliriz. İki ölçüm hakkımız olduğu için, toplamda $3 \times 3 = 9$ farklı durumu ayırt edebiliriz. Bizim 8 paramız olduğu için, bu problem iki ölçümde çözülebilir.
Şimdi, ilk ölçümde kaç parayı karşılaştırmamız gerektiğini seçenekler üzerinden inceleyelim:
-
A) 2'ye 2 karşılaştırma:
- Terazinin sol kefesine 2 para, sağ kefesine 2 para koyarız. Geriye $8 - 2 - 2 = 4$ para kalır.
- Durum 1: Sol kefe ağır gelirse, sahte para sol kefedeki 2 paradan biridir. (2 şüpheli)
- Durum 2: Sağ kefe ağır gelirse, sahte para sağ kefedeki 2 paradan biridir. (2 şüpheli)
- Durum 3: Terazinin kefeleri dengede kalırsa, sahte para terazide olmayan 4 paradan biridir. (4 şüpheli)
- En kötü senaryoda (terazi dengede kaldığında), geriye 4 şüpheli para kalır. İkinci ölçümde 4 paradan sahteyi bulmak için 1'e 1 tartım yapsak bile, eğer dengede kalırsa kalan 2 paradan hangisinin sahte olduğunu bulamayız. Bu yüzden 2'ye 2 karşılaştırma yeterli değildir.
-
B) 3'e 3 karşılaştırma:
- Terazinin sol kefesine 3 para, sağ kefesine 3 para koyarız. Geriye $8 - 3 - 3 = 2$ para kalır.
- Durum 1: Sol kefe ağır gelirse, sahte para sol kefedeki 3 paradan biridir. (3 şüpheli)
- Durum 2: Sağ kefe ağır gelirse, sahte para sağ kefedeki 3 paradan biridir. (3 şüpheli)
- Durum 3: Terazinin kefeleri dengede kalırsa, sahte para terazide olmayan 2 paradan biridir. (2 şüpheli)
- Her üç durumda da, geriye en fazla 3 şüpheli para kalır ve elimizde bir ölçüm hakkımız daha vardır.
- İkinci Ölçüm (Durum 1 veya Durum 2 için): Eğer 3 şüpheli para kaldıysa (örneğin A, B, C), bu paralardan ikisini (A ve B) terazinin kefelerine koyarız.
- A ağır gelirse, A sahtedir.
- B ağır gelirse, B sahtedir.
- Terazi dengede kalırsa, C sahtedir.
- İkinci Ölçüm (Durum 3 için): Eğer 2 şüpheli para kaldıysa (örneğin X, Y), bu paraları terazinin kefelerine koyarız (X'e Y).
- X ağır gelirse, X sahtedir.
- Y ağır gelirse, Y sahtedir.
- Gördüğünüz gibi, 3'e 3 karşılaştırma her durumda sahte parayı bulmamızı sağlar.
-
C) 4'e 4 karşılaştırma:
- Terazinin sol kefesine 4 para, sağ kefesine 4 para koyarız. Geriye $8 - 4 - 4 = 0$ para kalır.
- Durum 1: Sol kefe ağır gelirse, sahte para sol kefedeki 4 paradan biridir. (4 şüpheli)
- Durum 2: Sağ kefe ağır gelirse, sahte para sağ kefedeki 4 paradan biridir. (4 şüpheli)
- Bu durumda terazi kesinlikle dengede kalamaz çünkü sahte para mutlaka terazinin üzerindedir.
- Her iki durumda da geriye 4 şüpheli para kalır. İkinci ölçümde 4 paradan sahteyi bulmak için 1'e 1 tartım yapsak bile, eğer dengede kalırsa kalan 2 paradan hangisinin sahte olduğunu bulamayız. Bu yüzden 4'e 4 karşılaştırma yeterli değildir.
-
D) 5'e 3 karşılaştırma:
- Terazinin sol kefesine 5 para, sağ kefesine 3 para koyarız. Geriye $8 - 5 - 3 = 0$ para kalır.
- Durum 1: Sol kefe ağır gelirse, sahte para sol kefedeki 5 paradan biridir. (5 şüpheli)
- Durum 2: Sağ kefe ağır gelirse, sahte para sağ kefedeki 3 paradan biridir. (3 şüpheli)
- En kötü senaryoda (sol kefe ağır geldiğinde), geriye 5 şüpheli para kalır. İkinci ölçümde 5 paradan sahteyi bulmak mümkün değildir (çünkü 1 ölçümde en fazla 3 şüpheli para arasından seçim yapabiliriz). Bu yüzden 5'e 3 karşılaştırma yeterli değildir.
Yukarıdaki analizlerimize göre, ilk ölçümde 3'e 3 karşılaştırma yapmak, sahte parayı kesinlikle bulmamızı sağlayan tek yöntemdir.
Cevap B seçeneğidir.
