f: R → R, f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tüm gerçel sayılar
B) Pozitif gerçel sayılar
C) Negatif olmayan gerçel sayılar
D) Tam sayılar
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun görüntü kümesini bulmamız isteniyor. Görüntü kümesi, bir fonksiyonun alabileceği tüm çıktı (sonuç) değerlerinin kümesidir. Hadi bu fonksiyonun nasıl çalıştığını adım adım inceleyelim:
- Fonksiyonu Anlayalım: Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2$. Bu, fonksiyona hangi gerçel sayıyı ($x$) verirsek verelim, o sayının karesini alıp bize sonuç olarak vereceği anlamına gelir.
- Tanım Kümesini Hatırlayalım: Fonksiyon $f: R \rightarrow R$ olarak tanımlanmış. Bu, $x$ yerine tüm gerçel sayıları koyabileceğimizi gösterir.
- Bazı Değerleri Deneyelim:
- Eğer $x = 0$ ise, $f(0) = 0^2 = 0$.
- Eğer $x = 1$ ise, $f(1) = 1^2 = 1$.
- Eğer $x = -1$ ise, $f(-1) = (-1)^2 = 1$. (Unutmayın, negatif bir sayının karesi pozitiftir.)
- Eğer $x = 2$ ise, $f(2) = 2^2 = 4$.
- Eğer $x = -2$ ise, $f(-2) = (-2)^2 = 4$.
- Eğer $x = 0.5$ ise, $f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$.
- Eğer $x = -0.5$ ise, $f(-0.5) = (-0.5)^2 = 0.25$.
- Gözlemlerimizi Değerlendirelim:
- Yukarıdaki örneklere baktığımızda, $f(x)$ değerlerinin (yani fonksiyonun çıktılarının) hiçbir zaman negatif olmadığını görüyoruz.
- Bir gerçel sayının karesi her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani $x^2 \ge 0$ her zaman doğrudur.
- Sıfırı elde edebiliriz ($x=0$ için $f(x)=0$).
- Herhangi bir pozitif gerçel sayıyı da elde edebiliriz. Örneğin, $k$ gibi pozitif bir sayı elde etmek istiyorsak, $x = \sqrt{k}$ veya $x = -\sqrt{k}$ değerlerini kullanabiliriz. Çünkü $\sqrt{k}$ bir gerçel sayıdır ve $(\sqrt{k})^2 = k$ olacaktır.
- Sonuç: Bu fonksiyonun alabileceği tüm değerler $0$ ve tüm pozitif gerçel sayılardır. Bu küme, "negatif olmayan gerçel sayılar" olarak adlandırılır. Matematiksel olarak $[0, \infty)$ aralığı ile gösterilir.
- Seçenekleri İnceleyelim:
- A) Tüm gerçel sayılar: Yanlış, çünkü negatif sonuçlar elde edemeyiz.
- B) Pozitif gerçel sayılar: Yanlış, çünkü $0$ sonucunu da elde edebiliriz.
- C) Negatif olmayan gerçel sayılar: Doğru, bu $0$ ve tüm pozitif gerçel sayıları kapsar.
- D) Tam sayılar: Yanlış, çünkü $0.25$ gibi ondalıklı (rasyonel) sonuçlar da elde edebiliriz.
Bu adımları takip ettiğimizde, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun görüntü kümesinin negatif olmayan gerçel sayılar olduğunu açıkça görebiliriz.
Cevap C seçeneğidir.
