Bir kuşun yerden yüksekliğini ve yatay mesafesini temsil eden vektör \( \vec{d} = (15, 20) \) m'dir. Kuşun bulunduğu noktanın orijine olan uzaklığı kaç metredir?
A) 25Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kuşun konumunu temsil eden bir vektör verilmiş ve bizden kuşun orijine olan uzaklığını bulmamız isteniyor. Vektörler, hem yönü hem de büyüklüğü olan nicelikleri ifade etmek için kullanılır. Burada verilen vektör, kuşun yatay ve dikey konumunu gösteriyor.
Bize kuşun konum vektörü $ \vec{d} = (15, 20) $ m olarak verilmiş. Bu vektördeki ilk bileşen (15), kuşun yatayda (x ekseni boyunca) orijinden 15 metre uzakta olduğunu, ikinci bileşen (20) ise dikeyde (y ekseni boyunca) orijinden 20 metre yüksekte olduğunu gösterir. Yani, kuşun koordinatları $(15, 20)$'dir. Bizden istenen ise, kuşun bulunduğu noktanın orijine (yani $(0, 0)$ noktasına) olan uzaklığıdır.
Bir noktanın orijine olan uzaklığı, o noktanın konum vektörünün büyüklüğüne (magnitüdüne) eşittir. Eğer bir vektör $ \vec{v} = (x, y) $ şeklinde verilmişse, bu vektörün büyüklüğü (uzunluğu) Pisagor teoremi kullanılarak bulunur. Formül şöyledir:
$ ||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2} $
Burada $ ||\vec{v}|| $ sembolü vektörün büyüklüğünü (uzunluğunu) ifade eder.
Bizim vektörümüz $ \vec{d} = (15, 20) $ olduğu için, $x = 15$ ve $y = 20$ değerlerini formülde yerine koyacağız:
$ ||\vec{d}|| = \sqrt{15^2 + 20^2} $
Şimdi kareleri alalım:
Bu değerleri toplayalım:
$ ||\vec{d}|| = \sqrt{225 + 400} $
$ ||\vec{d}|| = \sqrt{625} $
Son olarak, karekökünü alalım:
$ \sqrt{625} = 25 $
Yani, kuşun orijine olan uzaklığı 25 metredir.
Bulduğumuz sonuç olan 25 metre, A seçeneğinde verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
