f: R → R fonksiyonu f(x) = m ve g: R → R fonksiyonu g(x) = n olmak üzere iki sabit fonksiyon olsun. Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman sabit fonksiyondur?
A) f + gBu soruyu çözmek için öncelikle sabit fonksiyonun ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması demek, tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit bir değere eşlemesi demektir. Yani, $f(x) = c$ şeklinde bir fonksiyonda, $x$ ne olursa olsun fonksiyonun değeri her zaman $c$ sabitidir.
Soruda bize $f: R \rightarrow R$ fonksiyonu $f(x) = m$ ve $g: R \rightarrow R$ fonksiyonu $g(x) = n$ olarak verilmiş. Burada $m$ ve $n$ birer sabit reel sayıdır.
İki fonksiyonun toplamı $(f+g)(x)$ şeklinde gösterilir ve $f(x) + g(x)$ olarak tanımlanır. Buna göre, $(f+g)(x) = f(x) + g(x) = m + n$ olur. $m$ ve $n$ birer sabit sayı olduğundan, bunların toplamı olan $m+n$ de bir sabit sayıdır. Örneğin, $m=5$ ve $n=3$ ise, $(f+g)(x) = 5+3 = 8$ olur. Bu da bir sabit fonksiyondur. Dolayısıyla, $f+g$ her zaman sabit bir fonksiyondur.
İki fonksiyonun farkı $(f-g)(x)$ şeklinde gösterilir ve $f(x) - g(x)$ olarak tanımlanır. Buna göre, $(f-g)(x) = f(x) - g(x) = m - n$ olur. $m$ ve $n$ birer sabit sayı olduğundan, bunların farkı olan $m-n$ de bir sabit sayıdır. Örneğin, $m=5$ ve $n=3$ ise, $(f-g)(x) = 5-3 = 2$ olur. Bu da bir sabit fonksiyondur. Dolayısıyla, $f-g$ her zaman sabit bir fonksiyondur.
İki fonksiyonun bileşkesi $(f \circ g)(x)$ şeklinde gösterilir ve $f(g(x))$ olarak tanımlanır. Önce $g(x)$'in ne olduğunu bulalım: $g(x) = n$. Şimdi bu değeri $f$ fonksiyonunda yerine yazalım: $f(g(x)) = f(n)$. $f$ fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğu için, $f(x) = m$ tanımına göre, $x$ yerine ne yazarsak yazalım sonuç her zaman $m$ olacaktır. Bu durumda, $f(n) = m$ olur. Yani, $(f \circ g)(x) = m$. $m$ bir sabit sayı olduğundan, $f \circ g$ her zaman sabit bir fonksiyondur.
Yukarıdaki analizlerimize göre, $f+g$, $f-g$ ve $f \circ g$ fonksiyonlarının her biri her zaman sabit bir fonksiyondur. Bu nedenle, doğru seçenek "Hepsi"dir.
Cevap D seçeneğidir.
