1'den 20'ye kadar numaralandırılmış 20 top bir torbaya konuluyor. Torbadan rastgele toplar çekiliyor. Aynı numaralı top olmadığına göre, çekilen toplar arasında numaraları toplamı 21 olan en az bir çiftin kesinlikle bulunması için kaç top çekilmelidir?
A) 10Bu problem, güvercin yuvası ilkesi (Pigeonhole Principle) adı verilen eğlenceli bir matematiksel kavramı anlamamızı sağlayacak harika bir örnektir. Amacımız, belirli bir koşulu kesinlikle sağlayacak en az top sayısını bulmaktır.
Öncelikle, torbadaki 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış toplar arasından, numaraları toplamı 21 olan tüm olası çiftleri bulalım:
$(1, 20)$, $(2, 19)$, $(3, 18)$, $(4, 17)$, $(5, 16)$, $(6, 15)$, $(7, 14)$, $(8, 13)$, $(9, 12)$, $(10, 11)$
Gördüğümüz gibi, bu şekilde tam 10 farklı çift bulunmaktadır.
Soruda "kesinlikle bulunması için" ifadesi geçtiği için, güvercin yuvası ilkesini kullanmalıyız. Bu ilke, bir olayın kesinlikle gerçekleşmesi için gereken minimum sayıyı bulurken, olayın gerçekleşmediği en kötü senaryoyu düşünmemizi söyler.
Bizim durumumuzda, en kötü senaryo, çektiğimiz toplar arasında numaraları toplamı 21 olan hiçbir çiftin olmamasıdır. Bunu nasıl başarabiliriz?
Her bir $(x, y)$ çiftinden sadece bir top çekerek, toplamı 21 olan bir çift oluşturmaktan kaçınabiliriz. Örneğin, $(1, 20)$ çiftinden sadece $1$'i veya sadece $20$'yi çekebiliriz. Eğer ikisini de çekersek, istediğimiz çifti bulmuş oluruz.
Yukarıda belirlediğimiz 10 çiftin her birinden sadece bir top seçerek, toplamı 21 olan bir çift oluşturmadan çekebileceğimiz maksimum top sayısını bulabiliriz. Örneğin, şu topları çekebiliriz: $1$ (çifti $20$), $2$ (çifti $19$), $3$ (çifti $18$), $4$ (çifti $17$), $5$ (çifti $16$), $6$ (çifti $15$), $7$ (çifti $14$), $8$ (çifti $13$), $9$ (çifti $12$), $10$ (çifti $11$).
Bu şekilde, 10 top çekmiş oluruz (örneğin $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ kümesi). Bu topların hiçbirinin toplamı 21 etmez. Veya diğer elemanları seçebilirdik: $\{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ kümesi. Bu da 10 top eder ve yine hiçbir çiftin toplamı 21 değildir.
Yani, 10 top çekerek hala numaraları toplamı 21 olan bir çift bulamamış olabiliriz. Bu, en kötü senaryodur.
Eğer 10 top çektiğimizde hala toplamı 21 olan bir çift bulamamışsak (yani her çiftten sadece bir eleman çekmişsek), çekeceğimiz 11. top ne olursa olsun, mutlaka daha önce çektiğimiz bir topun "eşini" tamamlayacaktır.
Örneğin, eğer $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ toplarını çektiysek, 11. top olarak $11$ çekilirse $(10, 11)$ çifti oluşur. Eğer $12$ çekilirse $(9, 12)$ çifti oluşur. Eğer $20$ çekilirse $(1, 20)$ çifti oluşur. Hangi topu çekersek çekelim, daha önce çektiğimiz bir top ile toplamı 21 olan bir çift oluşturacaktır.
Bu nedenle, numaraları toplamı 21 olan en az bir çiftin kesinlikle bulunması için çekilmesi gereken top sayısı $10 + 1 = 11$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
