Bir maratona katılan 100 koşucu var. Her koşucunun 1'den 99'a kadar tam sayı olan bir yaşı vardır. Aynı yaşta en az kaç koşucu olduğunu garantileyebiliriz?
A) 1Bu problem, matematikte Güvercin Yuvası İlkesi (Pigeonhole Principle) olarak bilinen bir kavramla çözülür. Bu ilke, eğer $n$ tane öğeyi $m$ tane kutuya yerleştirirsek ve $n > m$ ise, en az bir kutuda birden fazla öğe olmak zorunda olduğunu belirtir.
Bu senaryoda, koşucular bizim "güvercinlerimizdir". Toplam 100 koşucu bulunmaktadır.
Olası yaşlar ise "güvercin yuvalarımızdır". Yaşlar 1'den 99'a kadar tam sayılar olduğuna göre, toplam 99 farklı yaş (1, 2, ..., 99) bulunmaktadır.
Elimizde 100 koşucu (güvercin) ve 99 farklı yaş (güvercin yuvası) var.
Koşucu sayısı ($n=100$) yaş sayısı ($m=99$) değerinden büyüktür ($100 > 99$).
Bu durumda, Güvercin Yuvası İlkesi'ne göre, en az bir yaş grubunda birden fazla koşucu olmak zorundadır.
Aynı yaşta en az kaç koşucu olduğunu garantilemek için "en kötü senaryoyu" düşünmeliyiz. En kötü senaryo, mümkün olduğunca az koşucunun aynı yaşta olduğu durumdur.
Her bir yaşa bir koşucu atayarak başlayabiliriz. İlk 99 koşucuya farklı yaşlar verebiliriz (örneğin, 1. koşucu 1 yaşında, 2. koşucu 2 yaşında, ..., 99. koşucu 99 yaşında).
Bu durumda, 99 farklı yaşın her birine birer koşucu atanmış olur.
Ancak, elimizde hala 100 - 99 = 1 koşucu kalmıştır.
Bu 100. koşucuya atanabilecek yeni bir yaş kalmamıştır, çünkü tüm 1'den 99'a kadar olan yaşlar zaten ilk 99 koşucu tarafından alınmıştır.
Dolayısıyla, 100. koşucu, daha önce atanmış olan 99 yaştan herhangi birine sahip olmak zorundadır. Bu da demektir ki, o yaş grubunda artık iki koşucu olacaktır.
Matematiksel olarak, Güvercin Yuvası İlkesi'nin genelleştirilmiş hali, en az $\lceil n/m \rceil$ güvercinin aynı yuvayı paylaşacağını söyler. Burada $n=100$ ve $m=99$ olduğundan, $\lceil 100/99 \rceil = \lceil 1.0101... \rceil = 2$ olur.
Bu, en az 2 koşucunun aynı yaşta olacağının garantilendiği anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
