Bu problem, güvercin yuvası prensibi (Pigeonhole Principle) ile çözülebilecek bir kombinasyon problemidir. Amacımız, seçilen sayılar arasında toplamı 9 olan en az bir çiftin bulunmasını garanti etmektir.
- Öncelikle, verilen kümedeki (1'den 8'e kadar tam sayılar) hangi sayı çiftlerinin toplamının 9 ettiğini belirleyelim. Bu çiftler şunlardır: (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5). Gördüğümüz gibi, toplamı 9 olan 4 farklı çift bulunmaktadır. Bu çiftler, kümedeki tüm sayıları kapsamaktadır.
- Şimdi, toplamı 9 olan bir çiftin bulunmasını garantilemek için en kötü senaryoyu düşünmeliyiz. En kötü senaryo, mümkün olduğunca çok sayı seçmemize rağmen henüz toplamı 9 olan bir çift oluşturmamış olmamızdır.
- Her bir çiftten (örneğin (1,8) çiftinden) sadece bir sayı seçerek, toplamı 9 olan bir çift oluşturmaktan kaçınabiliriz. Örneğin, (1, 8) çiftinden 1'i, (2, 7) çiftinden 2'yi, (3, 6) çiftinden 3'ü ve (4, 5) çiftinden 4'ü seçebiliriz.
- Bu durumda, seçtiğimiz sayılar kümesi {1, 2, 3, 4} olur. Bu 4 sayı arasında toplamı 9 olan hiçbir çift yoktur (1+2=3, 1+3=4, 1+4=5, 2+3=5, 2+4=6, 3+4=7). Aynı şekilde, her çiftten diğer sayıyı seçerek de (örneğin {8, 7, 6, 5}) toplamı 9 olan bir çift oluşturmadan 4 sayı seçebiliriz.
- Yani, toplamı 9 olan bir çift oluşturmadan en fazla 4 sayı seçebiliriz. Bu 4 sayı, her bir "toplamı 9 eden çift" grubundan birer eleman seçilerek elde edilir.
- Şimdi, 5. sayıyı seçtiğimizi düşünelim. Seçtiğimiz ilk 4 sayı, yukarıdaki örnekteki gibi {1, 2, 3, 4} olsun. 5. sayıyı seçtiğimizde, bu sayı mutlaka kalan sayılardan biri olacaktır: {5, 6, 7, 8}. Eğer 5'i seçersek, {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde (4, 5) çifti toplamı 9 eder. Eğer 6'yı seçersek, {1, 2, 3, 4, 6} kümesinde (3, 6) çifti toplamı 9 eder. Eğer 7'yi seçersek, {1, 2, 3, 4, 7} kümesinde (2, 7) çifti toplamı 9 eder. Eğer 8'i seçersek, {1, 2, 3, 4, 8} kümesinde (1, 8) çifti toplamı 9 eder.
- Görüldüğü gibi, 5. sayıyı seçtiğimiz anda, daha önce seçtiğimiz 4 sayıdan biriyle mutlaka toplamı 9 olan bir çift oluşturulmuş olacaktır. Bu durum, hangi 4 sayıyı seçtiğimize bakılmaksızın geçerlidir, çünkü her bir "toplamı 9 eden çift" grubundan bir eleman zaten seçilmiş durumdadır. 5. eleman, mutlaka bu gruplardan birinin "eksik" kalan elemanı olacaktır.
- Dolayısıyla, toplamı 9 olan en az bir çiftin bulunmasını garantilemek için en az 5 sayı seçilmelidir.
Cevap B seçeneğidir.
