Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir dikdörtgenin alanını ve kenar uzunluklarını kullanarak çevresinin en az kaç olabileceğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları $2a$ ve $3b$ olarak verilmiş.
- Dikdörtgenin alanı $150 \text{ cm}^2$.
- $a$ ve $b$ birer tam sayı. Bu çok önemli bir bilgi!
- Bizden istenen, dikdörtgenin çevresinin en az kaç olacağı.
- 2. Alan Formülünü Kullanarak $a$ ve $b$ Arasındaki İlişkiyi Bulalım:
- Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Yani, Alan $= \text{Kenar}_1 \times \text{Kenar}_2$.
- Bizim dikdörtgenimiz için: $(2a) \times (3b) = 150$.
- Bu ifadeyi düzenlersek: $6ab = 150$.
- Her iki tarafı 6'ya bölelim: $ab = \frac{150}{6} \Rightarrow ab = 25$.
- Şimdi $a$ ve $b$ çarpımının 25 olduğunu biliyoruz.
- 3. $a$ ve $b$ İçin Olası Tam Sayı Değerlerini Bulalım:
- $a$ ve $b$ birer tam sayı olduğuna göre, çarpımları 25 olan pozitif tam sayı çiftlerini bulmalıyız (çünkü kenar uzunlukları negatif olamaz).
- Olası $(a, b)$ çiftleri şunlardır:
- $(1, 25)$
- $(5, 5)$
- $(25, 1)$
- 4. Her Bir Durum İçin Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:
- Durum 1: $a=1$ ve $b=25$ ise
- Birinci kenar: $2a = 2 \times 1 = 2 \text{ cm}$
- İkinci kenar: $3b = 3 \times 25 = 75 \text{ cm}$
- Durum 2: $a=5$ ve $b=5$ ise
- Birinci kenar: $2a = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$
- İkinci kenar: $3b = 3 \times 5 = 15 \text{ cm}$
- Durum 3: $a=25$ ve $b=1$ ise
- Birinci kenar: $2a = 2 \times 25 = 50 \text{ cm}$
- İkinci kenar: $3b = 3 \times 1 = 3 \text{ cm}$
- 5. Her Bir Durum İçin Dikdörtgenin Çevresini Hesaplayalım:
- Bir dikdörtgenin çevresi, $2 \times (\text{Kenar}_1 + \text{Kenar}_2)$ formülüyle bulunur.
- Durum 1 için Çevre: $2 \times (2 + 75) = 2 \times 77 = 154 \text{ cm}$
- Durum 2 için Çevre: $2 \times (10 + 15) = 2 \times 25 = 50 \text{ cm}$
- Durum 3 için Çevre: $2 \times (50 + 3) = 2 \times 53 = 106 \text{ cm}$
- 6. En Küçük Çevreyi Bulalım:
- Hesapladığımız çevre değerleri $154 \text{ cm}$, $50 \text{ cm}$ ve $106 \text{ cm}$'dir.
- Bu değerler arasında en küçük olanı $50 \text{ cm}$'dir.
- Unutmayın, bir dikdörtgenin çevresinin en az olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir. $10$ ve $15$ sayıları, diğer çiftlere göre birbirine daha yakındır.
Bu adımları takip ederek, dikdörtgenin çevresinin en az $50 \text{ cm}$ olacağını bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
