Bir vektörün skaler ile çarpımı Test 2

$\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ vektörü veriliyor. Bu vektör -2 skaleri ile çarpılırsa elde edilen yeni vektörün büyüklüğü kaç olur?

A) 5
B) 10
C) -10
D) 14

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir vektörün skaler bir sayı ile çarpılması ve ardından elde edilen yeni vektörün büyüklüğünün nasıl bulunacağını adım adım öğreneceğiz. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Vektörü Skaler Bir Sayı ile Çarpma

• Bir vektörü skaler bir sayı (yani bir sayı değeri) ile çarpmak, vektörün her bir bileşenini o sayı ile çarpmak anlamına gelir. Bu işlem, vektörün büyüklüğünü ve/veya yönünü değiştirebilir.

  Verilen vektörümüz $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ ve skaler sayımız $-2$.

  Yeni vektörü bulmak için $\vec{A}$ vektörünü $-2$ ile çarpıyoruz. Bu yeni vektöre $\vec{B}$ diyelim:

  $\vec{B} = -2 \cdot \vec{A}$

  $\vec{B} = -2(3\hat{i} + 4\hat{j})$

  Parantez içindeki her bir bileşeni $-2$ ile çarpalım:

  $\vec{B} = (-2 \cdot 3)\hat{i} + (-2 \cdot 4)\hat{j}$

  $\vec{B} = -6\hat{i} - 8\hat{j}$

  İşte yeni vektörümüz $\vec{B} = -6\hat{i} - 8\hat{j}$ olarak elde edildi.

• Adım 2: Yeni Vektörün Büyüklüğünü Bulma

• Bir vektörün büyüklüğü (şiddeti), bileşenlerinin karelerinin toplamının karekökü alınarak bulunur. Eğer bir vektör $\vec{V} = x\hat{i} + y\hat{j}$ şeklinde ise, büyüklüğü $|\vec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ formülüyle hesaplanır.

  Bizim yeni vektörümüz $\vec{B} = -6\hat{i} - 8\hat{j}$ olduğuna göre, $x$ bileşeni $-6$ ve $y$ bileşeni $-8$'dir.

  Şimdi bu değerleri büyüklük formülünde yerine koyalım:

  $|\vec{B}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2}$

  Önce kareleri alalım:

  $(-6)^2 = 36$

  $(-8)^2 = 64$

  Şimdi bu değerleri toplayalım:

  $|\vec{B}| = \sqrt{36 + 64}$

  $|\vec{B}| = \sqrt{100}$

  Son olarak karekökünü alalım:

  $|\vec{B}| = 10$

  Yani, elde edilen yeni vektörün büyüklüğü $10$ birimdir.

• Adım 3: Sonucu Kontrol Etme

• Bulduğumuz büyüklük $10$ birimdir. Seçeneklere baktığımızda, bu değer B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.