Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi Test 2

9. \( 2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} - \sqrt{32} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) \( 6\sqrt{2} \)
B) \( 7\sqrt{2} \)
C) \( 8\sqrt{2} \)
D) \( 9\sqrt{2} \)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda köklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemleri yapacağız. Bu tür işlemlerde temel kural, kök içindeki sayıları aynı hale getirmeye çalışmaktır. Bunun için de kök içindeki sayıları tam kare çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkarmamız gerekir. Haydi adım adım çözelim!

• Adım 1: Her bir köklü ifadeyi en sade haline getirelim.

  Amacımız, kök içindeki sayıları bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarak kök dışına çıkarabildiğimiz kadar çarpan çıkarmaktır. Bu sayede tüm köklü ifadeleri aynı kök içine sahip olacak şekilde düzenleyebiliriz. Genellikle en küçük asal çarpan olan $2$'yi kök içinde bırakmaya çalışırız.

• Adım 2: İlk terim olan $2\sqrt{18}$'i sadeleştirelim.

  Kök içindeki $18$ sayısını tam kare çarpanlarına ayıralım: $18 = 9 \times 2$. Burada $9$ bir tam karedir ($3^2$).

  Bu durumda $2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \times 2}$ olur.

  Kök dışına çıkan tam kare çarpanı $\sqrt{9}$ ifadesi $3$ olarak çıkar.

  Yani $2\sqrt{9 \times 2} = 2 \times \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ elde ederiz.

• Adım 3: İkinci terim olan $3\sqrt{8}$'i sadeleştirelim.

  Kök içindeki $8$ sayısını tam kare çarpanlarına ayıralım: $8 = 4 \times 2$. Burada $4$ bir tam karedir ($2^2$).

  Bu durumda $3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \times 2}$ olur.

  Kök dışına çıkan tam kare çarpanı $\sqrt{4}$ ifadesi $2$ olarak çıkar.

  Yani $3\sqrt{4 \times 2} = 3 \times \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 3 \times 2 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ elde ederiz.

• Adım 4: Üçüncü terim olan $\sqrt{32}$'yi sadeleştirelim.

  Kök içindeki $32$ sayısını tam kare çarpanlarına ayıralım: $32 = 16 \times 2$. Burada $16$ bir tam karedir ($4^2$).

  Bu durumda $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2}$ olur.

  Kök dışına çıkan tam kare çarpanı $\sqrt{16}$ ifadesi $4$ olarak çıkar.

  Yani $\sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ elde ederiz.

• Adım 5: Sadeleştirilmiş terimleri bir araya getirerek işlemi tamamlayalım.

  Şimdi orijinal ifadeyi sadeleştirilmiş halleriyle tekrar yazalım:

  $2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} - \sqrt{32} = 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$.

  Gördüğünüz gibi, tüm terimlerin kök içi aynı ($ \sqrt{2} $) olduğu için, katsayılarını toplayıp çıkarabiliriz. Bu tıpkı $6x + 6x - 4x$ işlemini yapmak gibidir.

  $(6 + 6 - 4)\sqrt{2}$ işlemini yapalım.

  $12 - 4 = 8$.

  Sonuç olarak $8\sqrt{2}$ elde ederiz.

Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneğinde bulunmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.